第十章作业高数.docx

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1、第十二章作业(P225) 3,根据级数的收敛和发散的定义判别下列级数的敛散性:1(+1 -解：级数的部分和匕 = (V2 ri) + (V3 2) HF (V 1 n)=n + 1 1因为lim sn = ,所以原级数发散.nn=l1(4n-l)(4n+3)解：级数的部分和s段+六+际西二泊-录+泊一白+ 乂+-焉)因为limsr = 所以原级数收敛.n4.判定下列级数的敛散性，对于收敛的情形，求出级数的和:解：级数是一公比为“v 1)的等比级数，故收敛，其和为二 = 1 5(3) 1 - E + 卷+ J+ ；解：级数是一公比为-：(-：VI)的等比级数，故收敛，其和为，丁 二: 1 (-彳

2、) 5(5) n=i解：因为所以级数发散.n VH解：级数可看作公比为1的等比级数和公比为*的等比级数之和.这两个等比级数13都是收敛的，故原级数是收敛的，其和为民+=:.14 14 4sin2fll-sin2l(9)1(sinl)2解：级数可看作公比为黄彦1( 1 时，an = sn- sn.1 =- =痴乐.“（三八，当m1时；故册=卜5+1）0,当m=1时s = lim sn = 1.n(习题12.1 (B) 5.若级数”隰/以一/1)收敛,且limn册=4证明级数M8 时收敛；解：设级数册.1)与n%1的部分和分别为力和小.因为级数-%it)收敛，故Hmsr存在，记为s.n又sr =

3、2(2 - %) + 3(a3 -。2)+ + 九(即 一 -) + (n + l)(+ - )=2% 0,2 g 5 + l)。+ = % 7 + 5 +l)+从而lim tn = -%-s + 4,即级数收敛.n所以级数2即收敛.（P236） 4.用比较判别法判定下列级数的收敛性:(n+l)(n+2),(3) 1(4)2(5)2(7)1(11) 1 (12) 1sin解：（3）因为且r=J发散，故r=窝发散.（4）因为& i（ 2）,且r= J发散，故2f 发散（5）因为cosJ工且Er=lW收敛，故=l啰J收敛.nn r5 x x nn（7）因为/吧（洞意丽）= !粤标希奇=1。，且虎

4、=J发散，故血】南南发散（11）因为蔡=箸合念2）,且Z*收敛，故r=或收敛.（12）因为|叫（sin；/：） = l=0,且9J发散，故法lSin；发散.5.设器1，是收敛的正项级数，证明级数11W证明：因为E1%1收敛，故lim%l = 0.n_ a2Xlim = lim ann an n=0,正项级数比较判别法的极限形式，级数超1嫌收敛.7.设级数册0,且叫= 2 W0,证明级数Ez发散.解：级数21即是正项级数且lim 子=limn an = I 0.n 1n由正项级数比较判别法的极限形式知，级数生1册与91 :有相同的敛散性.因为9A发散，故黑发散.(2) 15 (4) =1(8)1

5、(-n(lnnYl；(9) Nnsin募;do) 1(-i)n1n.解：因为1皿霁二产n (n+l)! n!(绝对)收敛.l 1.10=lim n +1=01,由比值判别法，2 (o)nn=1 n!(4)因为limn3+13n/ ，、/ ，、/ lim(n+l)!(n+l) nln 3n8+1)2on= o,由比值判别法，r二k收敛.(8)因为出仃|(-1产(Znn)n = lim- = 0l,由根值判别法，连1n胃(绝对)(Znn)收敛.(9)因为lim(n + l)sin焉nsin焉=limnnIXi ns加会收敛.噤= gl,由比值判别法,(10)因为1而，|(1尸+1(肃n Aln+)

6、n = i= Ji时，r=收敛，故%y绝对收敛.(2)对级数*1U7：因为lim5=lim占；=1且芽=j收敛，n l nz-n+l nz-n+l nz nz-n+l 1 nL由比较判别法的极限形式，1期收敛.故级数t ；罂绝对收敛.(4)对级数E*(-l)7l+I 令)=也 fER. lim =lim- = 0finx xx x:53)且2连J发散，由比较判别法知，生1等发散.综上所述，级数21(-1)1史条件收敛.(8)对级数流=】品% 四m=且高筋单调递减.由莱布尼茨判别法知级数r=i黑收敛对级数91公不：而岛；522)且aj发散，由比较判别法知，综上所述，级数r=i券条件收敛n2 且r

7、.l贵收敛由比较判别法，n=l(82j=icos(n：/3)绝对收敛.nn(P245)1.求下列赛级数的收敛半径和收敛域：( n7n-n-(7)r:去/；(9) 15(13) 1n2(x-2)解：(7)当无00时，lim =xn+1 -xn = lim -7= x = xn n+ln 1n +1当v 1时z宏廿收敛；当 1时n臂廿发散;当工=1时r=嗟收敛；当工=一1时z亮发散.故级数1甯Xn的收敛半径为1，收敛域为(9)当无工0时，lim27lT7- = Hm 誓誓 团=2xn 5+2)2(n+l)2 (n+2)2当v g时r=高收敛；当 ；时起1就竟发散；当尤=：时2连】岛齐收敛；当久=一

8、号时连1息收敛故级数r=W的收敛半径为3收敛域为L(f c JL )44 4(13)当工工0时，2lim(n + l)2(x- 2)n+1 n2(x- 2)n = lim-x-2 = x-2 廿当|%-2|1,即1工3时，迨1九2(工一 2尸收敛；当 3或XVI时2尸发散；当工=1时(T)nM发散；当尢=3时2总途2发散.故级数91的收敛半径为1，收敛域为(1,3)7.根据等式占= EoXr,(-l,l),求下列函数的基级数表示，并确定其收敛域:(2) (x)X解：) = = X+) = M+M/-a 乙一SX， J 1-J= i(-+0r) = 1, e(-,)解： = n=(-l)n(-l

9、l).两边对:求导得，一备 =291(l)F%nT,即71 = E迄o(-i)5 + i)l, (-ti)1-)10.利用逐项求导和逐项积分，求下列级数在收敛区间的和函数.(1) 15 (2) 2n(n-l)x (3) 1ix21(0 解：n=0 = n=0 dx = f；=0n dx = fdx= + )dx= acrtanx + y +1+x)dx=-acrtanx + -ln241+x1-所以中82j=14n+l4n+l1. l 1f 1+x-acrtanx + - tn 241-xxl x (1)1)解:连2 (n - l)xn = x2 超2 n( - l)xn-2 =，%(/)=x

10、2n=o(x7l) = %2(EK。冗r) = x2( = (- 1).l(1-X )(3)解 yoo 2n-l 2(n-l) _ y 2n-6.将下列函数展开成、的慕级数，并求展开式成立的区间： e2j (2)吉；(3) InJ； (4) sin2xn2Yn解：(1)由e* = 20/=1 + % +5+指+，工(-8,8).从而7，一2c *42ne- =or = l-x2+- (-l)n + 尢 (一8, ) (2)由 = o= 1 + 久 + 汽2 + + Xn + , X E (1,1)得，1-x1 _ 1 1 _ ly _ y”3无一3 l-x/3 - 3 乙r二l3J -乙n=0

11、3r+i= + x + 2 + , + n + ，xe (-3,3). In居=ln(l + x) - Zn(l - x) = (1(-l)-1 f + 1 ?)1y2-1=孤 1 21 = x 3x + + 芯7 + ，* (T，1)2n22n(4)因为cos% = E*o(-iy7 = l-= + + (-l)n7 + , x(-,).从而sn2x = i(l-cos2x) =(l-0(-l)nP)=jo(-l)nO = o(-l)n=2(%2) +?.2)2 _ + (_* +,x(-2,6). r2(n-l) _ ly 2n-1 r2(n-l)械乙n=l 2n “一乙九=1(02几人-2zjn=1(2)2-2x_ y 2兀一1( 一 2(T) _ y r x 2n-l _ 1 、，一方、叫1句(近)一亚ZgiK五)J -万(7)1 2