随机分析经典教材的对比分析.docx

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1、随机分析经典教材的对比分析郑言刘永枚【摘要】本文甄选国外经典的五本随机分析教材，简要介绍它们各自的内容、特点和适用对象，重点知识模块分别在选材、内容和编排上做出对比分析，旨在梳理出随机分析的核心知识框架，提炼出核心知识要素，以便教师和学生在选取教材时做出合理的选择，提高教学效能，推进随机分析课程建设.【关键词】随机分析；随机微分方程;经典教材;对比分析；随机积分【基金项目】1本文系湖南省学位与研究生教育改革研究项目.（项目编号：2022JGYB004）；2本文系国防科技大学研究生教育教学改革研究课题.（项目编号：yjsy2022024）随机分析是概率的一个重要分支，它类比微积分建立了随机微分、

2、随机积分等重要概念以及随机版本的牛顿-莱布尼兹公式（伊藤公式）,进而通过随机微分方程等工具分析噪声因素对现实世界的影响.从花粉粒子在液体中的运动到金融数学中的Black-Scholes模型，从工程领域的滤波理论到生物化学的酶动力学模型，等等，无不彰显其重要的数理分析作用.随机分析自20世纪40年代诞生时起就得到了飞速而蓬勃的发展.1987年其创始人伊藤清获得沃尔夫数学奖，2022年、2022年Wendel inWerner和MartinHairer也因在随机分析领域的突出成就获得菲尔兹奖.2022年国家基金委将“随机分析方法及其应用”列为“十三五”期间的“优先发展领域及其主要研究方向”，将“动

3、力学中的随机方法”作为重大项目予以资助，表明随机分析对于国家重大需求具有一定的战略意义.然而，我国的一些高校虽然于20世纪90年代就开始设立随机分析课程，并先后撰写和引进了一些教材.让人遗憾的是，这门课程的整体建设进度并没有与时俱进，甚至在一些高校还存在倒退甚至取消的窘境.问题的原因是多方面的，其中的一个重要原因是尽管市面上的随机分析教材和讲义已经比较丰富，但内容差异化过大，难度参差不齐,让读者无所适从.由于随机分析的前沿性，一些教师也不能很好地选择和利用教材，这更导致随机分析的教学效能低下.为此本文仔细甄选了五本经典的国外教材重点在选材和内容上做出比较，梳理出随机分析的核心知识框架，提炼出其

4、核心知识要素.一、教材的选择和主要特点随机分析的教材大致上可以分为三类：面向数学专业（细分下去是概率专业）所撰写的教材、面向金融专业所撰写的教材以及面向一般理工生所撰写的教材.三者的共性是面向对象都为高年级本科生、研究生或科研工作者，不过在选材、编排、难度上存在很大差异.第一类教材难度最大，对数学基础薄弱的学生可读性最差，其特点是不关心在数学学科之外的具体应用，而要求将随机积分理论尽可能地建立得比较完备，以求囊括最广泛的积分和被积函数；第二类教材在数学上深度最低，不过需要读者最好具备一定的金融学知识，其特点是对数学理论浅尝辄止，作为数学工具够用就行，证明也不是十分必要，而核心中的核心是结合金融

5、数学中的实例演示随机分析的实际应用；第三类教材的难度介于第一类与第二类之间，很多时候也是更重视结果而非过程，不过为了引入更多的应用实例，需要将随机积分理论适当加深和补充，所以在内容上也会有第一类教材所未涉及的.总之，在我们的调研中深感随机分析的学习只依托一本教材是不够的，因为读者的需求未必与作者的撰写思路完全契合，而且不同教材都有其可取之处，如果能够交互补充和参考其实才是最可取的学习策略.慎之又慎下，我们将以下五本教材作为比较和研究的对象：1 .金融随机分析1,作者是美国卡内基梅隆大学数学科学学院的StevenE. Shreve教授（下文简称此书为斯书）.全书共分两卷.第一卷主要包括概率论和随

6、机过程的基础性知识以及离散时间模型，利用较简单的离散时间二叉树模型给出了风险中性定价、无套利期权定价方法等，虽只用到简单的数学，但涉及了鞅、马氏过程、测度变换等基本概念的简单应用.第二卷以简化且通俗的随机分析理论为基础,介绍连续时间模型及其在金融学中的应用，其中包含了许多操作性强、面向实际应用的定量经济学内容.虽然第一卷并不包含随机分析的真正内容，但非常适合作为第二卷的预备读本，因为读者可以通过离散时间模型理解随机分析在分析连续模型时的重要思想.全书各章均有评注和习题，阅读基础只需要掌握微积分即可.2 .随机微分方程导论与应用（第6版）2是Universitext丛书之一，作者是挪威顶尖学府奥

7、斯陆大学（其计量经济学和数学的研究成果享誉世界）的BerntOksendal教授（下文简称此书为奥书）.这是一部广泛使用的研究生教材，主要内容包括伊藤积分、鞅表示定理、随机微分方程、滤波问题、扩散理论的基本性质和相关论题、在边值问题中的应用、在最优停时中的应用、随机控制中的应用及数理金融中的应用.虽然在随机分析的教材中奥书以易读易用著称，不过这也只是针对数学专业而言，其包含的大量证明并不适合数学基础薄弱的学生阅读.因此数学系高年级本科生及研究生可以较易上手，而一般的理工科和金融管理类的高年级本科生及研究生需要深化相关的数学基础，特别是要坚持做书后习题（书后附有部分习题解答和提示），不然会影响对

8、本书的理解和掌握.3 .随机分析及其应用3,作者是世界百强名校，澳大利亚蒙纳士大学（MonashUniversity）的知名教授 FimaC. Klebaner （F.C.克莱巴纳）（下文简称此书为克书）.本书是随机分析炙手可热的教材之一，选题兼顾理论和应用两个维度，内容广泛丰富.书中阐述了其在各领域的典型应用，包括数理金融中金融衍生品（如期权）的定价和对冲、工程中的滤波和控制理论、物理学中随机激励对各种物理现象的影响、生物学中种群的繁衍和环境变化对种群的影响.该书在论述上追求简洁易懂，注重数学启发和数学直觉，为此牺牲了一定的数学严密性.本书适合只具备一般高等数学和概率论基础的高年级本科生、研

9、究生和研究人员阅读.书内示例和习题十分丰富，并附有解答.4 .随机积分和微分方程（第2版）4,作者是美国康奈尔大学运筹学与工程学院的Philip, E. Protter教授（下文简称此书为普书）.这是一本十分有特色的教材，它用函数解析法研究半鞅的随机积分，不过并不遵循一般的先介绍鞅论的一般理论再定义随机积分，而是以一种十分契合随机积分定义的方式先定义半鞅，再讨论半鞅的性质.除此之外，该书也讨论了随机微分方程和滤子的扩张理论，选材不落俗套，如停时的分类、Bichteler-Dellacherie定理、鞅表示的Jacod-Yor定理、鞅表示的例子以及Sigma鞅等都有涉及.普书很好地选择性吸收了很

10、多文献的最新研究成果，力求证明的启发性和叙述的简洁性，不过在可读性上并不适合非数学专业，此外，它还要求读者先了解随机过程的基础知识.本书的示例偏理论，习题难度跨度较大，没有解答.5 .钟开莱随机积分导论第2版5是二十世纪后半叶”概率学界学术教父”钟开莱先生的经典名著（下文简称此书为钟书）.钟书由钟开莱教授在斯坦福大学和加州大学圣迭戈分校授课的讲义改写而成，内容改动不大，主要加强了完备性和严谨性，基本呈现了二十世纪九十年代随机积分理论的发展状况.它超越了伊藤清创建的经典理论，但并未涉及不连续分支理论.概括而言，连续样本轨道的局部鞅的随机积分是的主书的主要议题，也引入一些只要求轨道右连续性的结论以

11、拓展应用.书中关于鞅的hermite多项式、Cameron-Martin-Girsanov 公式、Feynman-Kac-Schrdinger 展开式和反射布朗运动的内容有一定特色.钟书保持着钟先生著作的一贯特点,严谨性高于简洁性，即十分注重数学逻辑的严密性，为此不惜笔墨，读来有娓娓道来之感.总之，此书作为二十世纪世界名校的教材确实值得一读，既可得到显著的数学训练，也可借此了解随机分析的发展历程.二、教材内容比较在微积分的准备知识方面，钟书和普书只用二到三节的篇幅快速介绍了重要概念和定理，不过是用测度论的语言严格叙述，入门门槛并不低，钟书介绍了可测性、Lp空间、单调类定理、有界变差函数和Sti

12、eltjes积分，普书与钟书类似，编排顺序不同，重点介绍了Stieltjes积分的变量替换；克书介绍了连续可导函数、右连左极函数、有界变差、黎曼积分、Stieltjes积分、Lebesgue积分、微分和积分、泰勒公式，之所以克书在这部分内容比较丰富，是因为它的定位是面向基础最薄弱的学生群体;斯书和奥书介绍了二次变差，其他内容略去，这种处理是因为这两本教材在数学上采取了比较简单的处理方式，而且也假设读者具备一定的高等数学基础.在概率论的准备知识方面，斯书用了接近两章的内容，是最易读的，包括随机变量和分布、期望、积分的收敛、独立性、条件期望、随机过程、鞅和Markov性，特点是测度的变换（后面章节

13、考虑了停时）；奥书篇幅最为短小，但是以测度论为基础，有Doob-Dynkin引理、Kolmogorov扩张定理、鞅的知识推到了随机积分的性质那一节，而Markov性则放在了扩散那一章；克书特点是将离散概率模型作为弓1例,引入停时的概念，关于。代数的一些概念（如滤子）描述得更加精细，鞅和Markov性则放在下一节与布朗运动结合在一起引入；普书和钟书都介绍了停时、鞅收敛定理、向后收敛定理、DoobsOptionalsampling定理、局部鞅，普书特别地介绍了 cadlag过程,钟书特别介绍了 OptionalTimes.奥书只用了一节内容介绍布朗运动的定义和最基本性质；斯书用了一章的篇幅，先讨论

14、随机漫步，然后讨论布朗运动的滤子、鞅性、二次变差、Markov性、首次通道时间分布（指数鞅）、反射原理（后面又引入了布朗运动的最值研究）；克书增加研究了逃逸时间和击中时间，最大最小函数，布朗运动的零点，布朗运动的增量（随时间增大的速度），高维布朗运动和Poisson过程；钟书有一节专门讨论twocanonicalprocesses；普书简要介绍了 Poisson过程和布朗运动.奥书仅对布朗运动定义了随机积分（被积函数是广义适应和平方可积的）；斯书和克书先是对布朗运动定义随机积分，然后在后面定义了关于带跳过程的随机积分（克书实际上是简要介绍了关于半鞅的随机积分的定义，然后将带跳过程的随机积分作为

15、特列，为此用了三章的篇幅，而斯书只用了一章）；钟书是关于连续轨道的局部鞅（个别处也推广到了右连续轨道）定义了随机积分（总共用了三章）；普书定义了关于半鞅的随机积分，用一章定义了黎曼型随机积分（被积函数是右连左极的适应过程），再用两章的篇幅定义了 Lebesgue型随机积分，为此用了一章篇幅建立了鞅分解的B i ch t e 1 er-De 11 acher i e定理（Doob-Meyer分解和Meyer-Girsanov定理是其中间结果）.奥书在定义随机积分后得到了 1维和多维的伊藤公式以及鞅表示定理;斯书也建立了多维伊藤公式，研究了布朗桥（为后面的蒙特卡洛模拟做准备），而将鞅表示定理推迟到下一章风险中性定价理论中引入（Girsanov定理也是如此）；克书建立了多维的伊藤公式，研究了高维的伊藤过程；普书建立了伊藤公式（第2章）、Girsanov定理、拟鞅、补偿子、局部鞅的基本定理（第3章）、鞅表示定理、半鞅局部时间和Tanaka公式、鞅对偶和Jacod-Yor定理、Azema鞅（作为一种反例）、Sigm