关于对换元法的思考.docx

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1、关于对换元法的思考导读:深入分析换元法的目的和意义,从而得出各种换元技巧的本质规律，以便在数学解题中能够有效地选择换元方式.：换元法,转化从一种形态转化到另一种形态，这是数学开展的一个杠杆,也是解题常用的手段.数学史中这样的例子很多，无论是对一些具体问题的解决,还是在经典的数学方法中，都无不渗透着这一思想.解题中常用到的换元法，其实也是这一思想的具体表达.当然，为了使问题得到解决,转化应该是有效的.什么是有效的转化？总的说来,有利于问题解决的转化就是有效转化.在具体问题中，针对转化的有效性,人们作了很多的探讨.以换元法为例，就有很多文章探讨了解方程中的换元技巧,积分中的换元技巧，等等.每一类问

2、题又由于其具体形式的不同，换元的形式也多种多样.分析各种换元形式的共同规律,可以将其归结为以下两种模式.一、通过换元使形式凝练、简化化繁为简是处理问题的一种常用方法，也是数学解题的一种重要手段,恰当的换元往往可以起到这一作用.例1解方程.分析这是一个含根式的二次方程,形式较复杂,但注意到方程左端可以化成关于的表达式,令,原方程可简化为一元二次方程，问题得以解决.解原方程可改写为.(1)令,那么方程可化为解此方程,得(舍去)，由，得,(3)解方程(3),得原方程的根二、通过换元改造难于处理的形式表达式中出现难于处理的形式，如根式、超越函数等，通过适当的换元来改造形式，使问题得以解决.例2求不定积分.分析被积函数的分子、分母中分别出现了二次根式和三次根式，没有直接的积分公式可以套用，设法将根式去掉.令,可以将无理函数转化为有理函数.解设，即，.于是在具体问题中，换元的形式多种多样,但究其本质，多是从以上两个角度选择换元方式.弄清这一根本规律，我们就没有必要去记忆各种换元技巧，具体问题具体分析,有针对性地恰中选择换元.1刘玉琏,傅沛仁,林可，苑德馨,刘宁.数学分析讲义(第四版)的.北京:高等教育出版社,2019.2宋天鉴,刘卫华，孙敏.高中数学解题法M.昆明：云南教育出版社，2019.