SF01数Ch12数项级数.docx

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1、SFOl （数）Ch 12数项级数计划课时:14时P 1341552002. 03. 08.Ch 12数项级数(1 4时) 1级数的收敛性(3时)概念：1 . 级数：级数，无穷级数；通项(一般项，第九项)，前项部分和等 概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为与2 .级数的敛散性与和：介绍从有限和入手，引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本，定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数 /的敛散性.n1 _ n1解 修|t S”，级数发散；9 = 1 时，S=zz + l+, (m),级数发散；4 = 1 时，5n =(l + (-l)w), (M),级数发散.

2、1综上，几何级数 Yqn当且仅当| Sn 2,(n ).因此，该级数收敛.OO Q例4 讨论级数上二的敛散性.Zi 5n-322 22凸=* ns 小 *+, (m).级数发散.5-3 5n 553 .级数与数列的关系：un对应部分和数列, EKn收敛。 S”收敛；00对每个数列%,对应级数1+Z(z-%_),对该级数，有3“=%.于是, n=200数列 收敛 O 级数Xl + Z (Z -匕-1)收敛.n=2可见，级数与数列是同一问题的两种不同形式.4 .级数与无穷积分的关系：+00 +1+l(x)dx=E=Z%,其中册= j.无穷积分可化为级数；1=1 n = 1n对每个级数，定义函数/(

3、x) = Un , x0, 3N, n N 和 VP N, =I un+l + un+2 + , + un+p I Iimwn =0. n1例5证明2-2级数收敛.n=l几证显然满足收敛的必要条件.令 %=4，则当2时有nlISI 4 I 111l%+ +W+2 + + I = X 2 21IX 4、=Z-0.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件） 1例7（凡0但级数发散的例）证明调和级数发散.M n证法一 （用准则的否定进行验证）（参阅Ch8lE2,在教案P84 ）证法二 （证明 Szz 发散.利用Ch 10习题课例2已证明的不等式ln( + l)1h1F- EaUn 收敛且有EaUn

4、= a EKrI(收敛级数满足分配律)性质2 和收敛，n Z(%V)收敛，且有Z(X V)=X X问题：、Z均、Z(X V)三者之间敛散性的关系.性质3若级数Z%收敛，则任意加括号后所得级数也收敛，且和不变.(收敛数列满足结合律)例8 考查级数(-1)从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该 n=l例的结果说明什么问题？Ex1P6-71 8(1)-(3);4P6-721, 22, 23.2正项级数(3时)一.正项级数判敛的一般原则：1 .正项级数：un0, Sn/;任意加括号不影响敛散性.2 . 基本定理：Thl设心o .则级数Z%收敛=Szl=(XI) .且当Z氏发散时，有Sn +, (zz

5、).(证)正项级数敛散性的记法.3.Th 2例1解例2系1正项级数判敛的比较原则：设Z%和Z打是两个正项级数，且mN，N时有册丹，则i + ， n Z%= + , =Z匕2= + ( ii 是 i的逆否命题)1考查级数的敛散性.n=l n n + 1n2 1 n12 1 0, n - - , 2n -n+l n11设0p2).判断级数/sin 1的敛散性.式1q（比较原则的极限形式）设Z与和Z均是两个正项级数且吧:L=/,则i O V / V +8时，EUn和共敛散；ii / = O时，Zvz Z与 / = +8 时，Z乙=+oo ,=Z 沅”二+00 .(证)系2若例3(1)OO1(1 +

6、-n-l设Z%和 八是两个正项级数，若 %=X），特别地，,(m ),则X+ o X=+判断下列级数的敛散性：/ i i i / 1;();(2)sin t2n- 2n-n 2nStrI二.正项级数判敛法:1 .检比法：亦称为OMe雨儿加判别法.用几何级数作为比较对象，有下列所谓检比法.Th 3设Z%为正项级数，且mN。及9(0乡N时i 若qvl , = yX 若乜ill,= e= + . un证 i不妨设1时就有5q qnx,即un u1qnl.由 Oql ,得 Z Z% 可见册往后递增，= UrI+0, (m).系(检比法的极限形式)设，以为正项级数，且Iimg 二夕.则 Jw uni q

7、 Z八 ql或q = + , = Z沅,=+ .(证)倘用检比法判得Z%=+,则有Kn+0, (m).检比法适用于和+1有相同因子的级数，特别是乙中含有因子M者.例4判断级数2 25 258258 (2 + 3( 1)1 15 159159(1 + 4(-1)的敛散性.A731. n+ 2 + 3n 3解 Iim = Iim= 1, n n- 1 + 4n 4J例5讨论级数T(X 0)的敛散性.M ur+ （n + l）xnn + 1z 、解 上_ = 1% X, （）.un xn-i n因此，当Oxl时，Z1时，Z=+oo; % = 1时，级数成为Z，发散.r n+1 I例6 判断级数工%的

8、敛散性. 乙nn注意 对正项级数Z%,若仅有也,其敛散性不能确定.例如对级数 UnY-和均有也0,当N时,i 若 / E”n 若 1, = EM = + .（此时有% 0, （n）.）（证）系（检根法的极限形式）设52%为正项级数，且Iim 苏 =/.则i i, = Z% =+ .（证）检根法适用于通项中含有与几有关的指数者.检根法优于检比法.（参阅1P1516）例7研究级数 3 + （T）”的敛散性.L 2nIim 0% = Iim nn=1, R1,A且5)1 /(x)Jx (-l),=2,3,Jn-Immm-1合 W J1 f(x)dx 0时/(x)在区间l, + )上非负递减.积分Xp

9、1级数F当Pl时收敛， n=l M+(x)dx当p 1时收敛，0pl时发散.二 100,级数发散. npOO 1综上，级数当且仅当pl时收敛. n=l H例10讨论下列级数的敛散性:OOn=2n(lnn)p00n=3n(lnn)(lnlnn)pEx 1P19-201(8),2(3)(6), 5, 6, 8(D-(3), 11；4P31134.习题课(2时).直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时，常用下列不等式： an 0,4 0, n - an + hn an 对%,有ISin*1, ICoS*1, ISin*%.Ia也vg(力+配)；特别地，有6Z1 O 1I00+=) ,nan an + ).n 2 n2(4) an 0时