一元二次方程知识点.docx

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1、分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.注意：“分母不为零”这个条件不能少.一元二次方程的定义(1) 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.(2)概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2.(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2” ； “二次项的系数不等于0 ； “整式方程”.一元二次方程的一般形式(1) 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理

2、，都能化成如下形式a2+bx+c=0 (a0).这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中ax?叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.(2)要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.一元二次方程的解(1) 一元二次方程的解(根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.(2) 一元二次

3、方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这1, X2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.a2+b+c=O (a0) , ax22+bx2+c=O (a0).解一元二次方程一直接开平方法形如2=p或(nx+m) 2=p (p20)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成X?邛的形式，那么可得x=如果方程能化成(nx+m) (p20)的形式，那么nx+m二土日.注意：等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.方法是根据平方根的意义开平方.解一元二次

4、方程一配方法(1)将一元二次方程配成(x+m) 2的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为a2+bx+c=0 (a0)的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.解一元二次方程一因式分解法(1)因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用

5、的方法.因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程;解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.解一元二次方程一直接开平方法形如2=p或(nx+m) 2=p (p20)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.如果方程化成X?邛的形式，那么可

6、得x=如果方程能化成(nx+m) (p20)的形式，那么nx+m二土日.注意：等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.方法是根据平方根的意义开平方.解一元二次方程一配方法(1)将一元二次方程配成(x+m) 2的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)用配方法解一元二次方程的步骤：把原方程化为a2+bx+c=0 (a0)的形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；如果右边是非负数，就可以进一步

7、通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解.解一元二次方程一因式分解法(1)因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：移项，使方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两

8、个一元一次方程;解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.反过来可得p=- (X1+X2) , q-2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数.(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系：x, X2是一元二次方程a2+bx+c=0 (a0)的两根时，Xl+2=12=-,反过来也成立，即 k=- (l+2) , X12.a aaa(3)常用根与系数的关系解决以下问题：不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数.不解方程求关于根的式子的值，如求，X/+X2?等等.判断两根的符号.求作新方程.由给出的两根满足的条件，确定字

9、母的取值,这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a0, ，()这两个前提条件.一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检脸和作答.2、列一元二次方程解应用题中常见问题：(1)数字问题：个位数为a,十位数是b,则这个两位数表示为1Ob+a.(2)增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次增长后为a (1+x);第二次增长后为a (1+x) 2,即原数X (1+增长百分率)2二后来数.(3)形积问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.利用三角形、