非线性交调的频率设计.docx

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1、非线性交调的频率设计电子工程学院卢轩计算机学院张博摘要：本案例研究的是一非线性系统，当其输入为特定离散频率时，输出信号中原频率与交调频率之间的频差关系及相应的幅值关系，并据此选择输入信号的频率，以避免交调形成噪声干扰。首先根据题中所给数据通过excel软件用最小二乘法求出系统的输入输出函数为：y(t) = -O.(XXM w3(r) + 0.(M54u2(t) + 0.2441 u(t),并通过显著性检验得浦=0.9996,说明该模型是合理的。在进行频率设计时考虑解为整数的特点，在穷举搜索法的基础上建立简单模型；通过简化判决条件，缩小检验范围，提高搜索速度，建立改进的搜索模型。最终得到两组输入

2、频率：f 1=36, f2=42, f3=54f 1=36, f2=49, f3=55o若考虑提高信噪比，则最优解为第一组解。最后，对得出的数学模型进行了改进和推广。关键字：最小二乘法显著性检验穷举搜索法信噪比一、问题的重述1.背景如果一非线性器件的输入U(t)与输出y(t)的关系是y(t)=u(t)+u2(t)(其中t是时间),那么当输入是包含频率f、f2的信号u(t)=COSCOs2lft+COS24f2L 输出y(t)中不仅包含输入信号，、力，而且还会出现2/,，上等新的频率成分，这些新的频率称为交调，如果交调出现在原有频率工、力的附近，就会形成噪声干扰，因此工程设计中对交调的出现有一定

3、的要求。2.问题现由一 SCS(非线性)系统，其输入输出关系由如下一组数据给出：输入U0510203040506080输出y02.256.8020.1535.70 56.4075.10 87.8598.50输入信号为 u(t) = A1 cos 2兀于/ A2 cos 2f2t + Ay cos 2f3t，其中 A =25 ,4=10, 4二45是输入信号振幅，对输入信号的频率/；、人、力的设计要求为：1)36 40,41 50,46532)输出中的交调均不得出现在工5的范围内(i=l,2,3),此范围称为力的接受带(图略)，若交调出现在工6的范围之外，其影响忽略不计。r23)定义输出中的信噪

4、比SNR=101ogT(单位：分贝)，其中耳是输出中对应%于频率为力的信号的振幅，c“是某一频率为力的交调的振幅。若力出现在ftt =工6处(i=l,2,3),则对应的SNR应大于10分贝(参见上图)；4)力不得出现在力的接受带内(i, j=l,2,3, 幻)；5)为简单起见，工只取整数值，且交调只考虑2阶类型(即/土力, i,j=l,2,3)和3阶类型(即工- i,j,k=l,2,3)；试按上述要求设计输入信号频率p2,二、模型的基本假设1 .该系统为一因果、时不变、无记忆的非线性系统。由因果时不变系统的特性可知：(1)系统具有零输入时零输出的特点；(2)系统参数不随时间零输出的特点；2 .

5、假设该系统的参数不随输入信号的频率变化而变化；3 .系统的特性函数由实验进行测量给出。实验中输入信号是一确定量。输出观测量中不含系统误差，只有观测误差，其对应输入量的关系为y = 3) + e,其中为随机扰动，假设该扰动是符合 =0的正态分布。三、符号说明A(f):频率为F分量的幅值B:接收带(单边)Bi :输入频率的振幅C” ：交调力的振幅/：交调频率力：输入频率SNR:信噪比(101g与)工u(t):输入信号y(t):输出信号四、问题的分析针对该问题我们需建立两个模型：1 .第一个模型是系统的输入输出函数模型。利用题目中给出的实验数据，在合理假设的情况下，通过拟合或回归的方法求解输入输出关

6、系中的参数。2 .第二个模型是频率设计模型。由于求解范围在整数的范围，而且可得的组合在数量上不是十分大，所以可考虑采用搜索法进行求解。五、模型的建立与求解L输入输出函数模型:D模型准备：有关线性最小二乘拟合，在此作简略原理概述。首先我们引进广义多项式的概念。M次多项式是函数系夕式刈2的线性组合，一般的，设函数系0k(x)M是线性无关的，则其线性组合e(x) = 6为外(x)称为广义多项式。如三角多项式 就Ar=O是函数系1,cosX,sinx9cos2x,sin2x,.,cosnc,sinmx的广义多项式。给定一组测量数据(J) (i=l, 2,., n)和一组正数码，牡，.，七，求一“-广义

7、多项式9(x) = Z0(幻，使得目标函数S = /夕(七)-y达到最小。欠=01=1此时,称(x)为数据(如y) (i=l, 2,.，n)关于权系数g , 1,., 4的最小二乘拟合函数。由于e(x)的待定系数4, q, ,4全部以线性形式出现，故又称上述问题为问题为线性最小二乘问题。2)模型一的建立：定义系统特性函数为：y(t)=fu(t)o若只考虑t时刻，由假设知，y(t)二fu(t)可简写为：y=f(u),其中u为输入信号,而y为输出信号。由假设3知y = () + 2,因为e符合4 = 0的正态分布，所以可以根据实验数据用回归模型进行求解。基于三点原因：(1)假设1中为零输入时零输出

8、；(2)只考虑二阶及三阶交调的影响；(3)多项式有利于频率及幅度的求解。结合样本的散点图的形状，确定回归的模型为y = 4 + %+%为了更为直观地描述此模型后面我们也能够通过Excel软件并进行显著性检验来确定此模型的函数表达式。3)模型一的求解：根据题中数据用最小二乘法对y(t)进行三元回归，即可确定式各系数。令9。=Z(乂 一biui b2ui - b3ui)2i=l对、仇、4分别求偏导，得到乙、仇、h3,使式(4)的值最小。9999%X +aX=四.=l/=1/=1/=1999_9, 仇=Zm/(5)/=1/=1/=1/=19999+&X： =Zw4i=li=li=l/=1由所给数据求

9、方程组，利用计算机相关软件进行拟合可求得4、b2、/r1 =0. 2441Z 36 + 41 = 77 61(/, 7,/: = 1,2,3)fi-f.-fk 61-36-36 30(/, j, k = l,2,3)因此讨论时，可不考虑含有这些形式的交调的项，即不考虑2阶交调和3阶交调中的/ + /； +力,/；.-/；-人项。而只对出现在30, 61频带中的形如：d(kj) = 2fk-fj(8)的交调项的一阶项工进行讨论，这些交调项和一阶项分别是:方程组式(9)22=1+2-3=4432=1+3-=5447=2+3-i=6922=2*1-=3917=2*1-=3442=2*%力 =乱30=

10、2*2-=5452=2*-Z =7442=2*- =6936 = l = 4041 = f2 = 5046 =3 10(J)(11)即 g210C：(12)因而表2的5组频率配置未必满足SNR的要求。为此需要计算输出中对应频率为人和2工-力、工+力-力的振幅。由式知输出%、%、为三项组成，而根据上述题目分析可得，为对本题无影响，主要影响是为。我们用Fourier分析方法对为处理，记：% = 314（* +/改）04（/+或叼）24（* +/町 kj/（13）4（ t 444）i”3 j e与 k,j,i=l视为二%0)，此式显然是以2%为周期的函数，因而将为表示为:=ca-ia exp（t%） 化-整数）（14）& k? A