圆的方程 教学设计.docx

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1、圆的方程一、知识点1、圆的标准方程2、圆的一般方程3、圆的参数方程4、根据恰当的条件写出圆的方程5、由圆的方程写出圆的半径和圆心6、由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系7、由圆的方程讨论两个圆的位置关系二、能力点1、掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程2、能根据恰当的条件写出圆的方程3、会由圆的方程写出圆的半径和圆心4、会由直线方程和圆的方程讨论直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程5、会由圆的方程讨论两个圆的位置关系6、进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力7、培养学生设参数、消参数解决问题的能力三、学法指导1、求圆的方程可大致分为五种不同情形给出圆的半径，隐含给出圆的圆心给出圆的圆心

2、，隐含给出圆的半径给出圆经过两个定点及圆心通过某条已知直线给定圆上三点给出圆上一定点，一条圆的切线方程及圆心所在直线方程2、直线与圆的位置关系的判断方程观点：由圆的方程与直线的方程消去y（或x）后得到一个一元二次方程，用判别式与。的大小来判别：（）时，直线与圆相交；A=O时，直线与圆相切；AVO时,直线与圆相离。几何法（算出圆心到直线的距离d,然后比较d与半径R的关系）：当dVR时直线与圆相交；d=R时直线与圆相切；dR时直线与圆相离。3、两圆的位置关系用几何法较好，设两圆的圆心的距离为d,两圆的半径分别为R1、R2,贝J:dR+Rz时两圆相离；d=R+R2时两圆外切；dVR-R2时两圆内切；

3、Ri-RiVdVR+R/时两圆相交；dVR1一Ra两圆内含。rx=KcosB4、圆的参数方程iy=KszF是表示圆心为原点，半径为R的圆，由于圆的参数方程是由圆上动点坐标形式来表达的，用参数式求圆上的动点与某定点的距离，求圆上的动点与某定点所有连线的斜率范围等问题可化为三角求解，这样运算简洁，计算方便。四、重点与难点1、重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导和应用2、难点：直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质的研究五、课时安排三课时第一课时圆的标准方程教学目标1 .掌握圆的标准方程的形式特点；2 .能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程；3 .能从圆的标准方程求出它的圆心和

4、半径. 教学重点圆的标准方程 教学难点根据条件建立圆的标准方程 教学方法学导式 教学过程设置情境：在初中的几何课本中，大家对圆的性质就比较熟悉，首先来回顾一下圆的定义。平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径.按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程.1 .圆的标准方程：(Xa)2(y-b)2=r2其中圆心坐标为(a,b),半径为推导：如图732,设Ma,y)是圆上任意一点，根据定义,点M到圆心。的距离等于，,所以圆。就是集合P=MMeI=r.由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为J(Xa)2+(丁一力2二/把式两边平方，得(-a)2+(y-b)2=r2当圆心在原

5、点，这时圆的方程是：x2y2=r2小结：由圆的标准方程知道，只要知道圆的圆心、半径就可以写出圆的方程。课堂练习：1、P77练习I写出下列各圆的方程圆心在原点，半径是3；圆心在点C(3,4),半径是5；圆心在点C(8,一3),经过点P(5,Do2、说出下列圆的圆心、半径(1)(-2)2+(y+3)2=25(2)(x2)2+(y-1)2=36(3)2y2=43、判断下列各点与圆(x+1)2+(y-1)2=4的位置关系：A(1,1);B(0,1)；C(3,Do小结：点P(x0,y)与(xa+(y-b)2=/的位置关系是(xda)?+(yob)?=/等价于点P在圆上；(x1-a)+(y0-b)?/等价

6、于点P在圆外；(x(ia)2+(yob)2v等价于点P在圆内。2 .例题讲解：例I求以C(1,3)为圆心，并且和直线3%一4)，-7二()相切的圆的方程.回忆初中直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离d,圆的半径为r,则dr等价于直线与圆相离；d=r等价于直线与圆相切；dVr等价于直线与圆相交。从交点个数来看：直线与圆没有交点等价于直线与圆相离；直线与圆只有一个点等价于直线与圆相切；直线与圆有两个点等价于直线与圆相交。从方程的观点来看：由圆的方程与直线的方程消去y(或x)后得到一个一元二次方程，用判别式与O的大小来判别：()等价于直线与圆相交；A=O等价于直线与圆相切；AVO等价于直线与圆相离

7、。解:因为圆C和直线3x4y7=0相切，所以半径等于圆心C到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式，得-=!/!=一32(-4)25因此，所求的圆的方程是1)?+(y3)2=空.说明直线和圆相切的性质是解决圆的问题重要知识例2已知圆的方程是W+y2=/，求经过圆上一点M(向,泗)的切线的方程.解：如图，设切线的斜率为半径OM的斜率为因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是Z=-1经过点M的切线方程是：y-y0=-(x-x0)Jo整理得：x0+yQy=%oJo因为点M(M,Jo)在圆上，所以年+y；=/所求切线方程为：x0x+y0y=r2当点”在坐标轴上时，上述方程同样适用.猜测：己知圆的方程是(x

8、a)2+(yb)2=r2,则经过圆上一点M(x,y)的切线的方程是(Xa)(xo-a)+(y-b)(yo-b)=r2.说明：例2结论要求学生熟记.，一题多解1J7.34例3图734是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度B=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱支柱的长度(精确到0.0Im).解：建立直角坐标系如图734所示.圆心在y轴上，设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是二那么圆的方程是f+()，一份2二产因为P,8都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解.于是得到方程组.解得b=-10.5,r=14.5202+(4-)2=r2102+

9、(0-Z?)2=r2所以这个圆的方程是：+(.f+0.5)2=14.52把点P的横坐标x=-2代入圆方程得y=14.52-(-2)2-10.5=3.86(m)答：支柱4P2的长度约为3.86m.说明：例3一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，另一方面了解待定系数法确定曲线方程的思路.H1课堂练习课本P77练习1,2,3,4思考题：1、圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的最小距离是。52.直线3-4y+17=0被(-2F+(y-2)2=25所截得的弦长是.8归纳总结1数学思想：数形结合，2数学方法：解析法，图形法。通过本节学习，要求大家熟练掌握圆的标准方程，了解待定系数法，进

10、一步熟悉求曲线方程的一般步骤，并能解决一些简单的有关圆的实际问题要学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题。作业习题7.7I,2,3,4第二课时圆的一般方程教学目标1 .掌握圆的一般方程的形式特点及与标准方程互化；2 .掌握二元二次方程表示圆的充要条件；3 .进一步熟悉并掌握待定系数法.教学重点圆的一般方程应用教学难点待定系数法教学过程一、设置情境：1、求下列各圆的标准方程圆心在直线y=X上，且过两点(2,0),(0,4)；圆心在直线2x+y=0上，且与直线x+y1=0相切于点(2,-1)；圆心在直线5-3y=8上，且与坐标轴相切。(1)(-3)2+(y+3)2=10;(2)(-1)2+(y

11、2)2=2;(3)(-4)2(y-4)2=162、已知圆x2y2=25,求：过点A(4,3)的切线方程；4-3y-25=0过点B(5,2)的切线方程。21-20y+145=0或x=-52、圆的标准方程及其应用回顾：(Xa)2+(y-b)2=r2其中圆心坐标为(a,b),半径为r变形圆的标准方程x2+y2-2a-2by+a2b2-r2=0由此可见，任一个圆的方程都可以写成下面的形式：X2+y2+Dx+Ey+F=0反过来，我们研究形如的方程的曲线是不是圆。将的左边配方，整理得*+交+(y+尹4+4当D2+E2-4F0时，比较方程和圆的标准方程,可以看出方程表示以(一D/2,一E/2)为圆心，半径为

12、1J。？十七2一4尸的圆;2当D2+E24F=O时，方程只有实数解x=-D2,y=-E2,所以表示一个点(一D2,-E/2)；当D2+E2-4FV0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。二、解决问题1、圆的一般方程：X2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),其中圆心(一D2,-E/2),半径为-yD2+E2-4F.22、二元二次方程表示圆的充要条件：由二元二次方程的一般形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0和圆的一般方程x2+y2+DxEy+F=O的系数比较，(1)2和y2的系数相同，且不等于0,即A=C0;(2)没有Xy项,即B=O;(3)D2+E2-4AF0.练习

13、：1、下列方程各表示什么图形？2+y2=0(2)2+y22x+4y6=0(3)2+y2+2a-b2=02、求下列各圆的圆心与半径x2+y2-6y=0(2)2+y2+2by=0(3)2+y24x+6y12=0三、反思应用例1求过三点O(0,0)、Mi(1,I)、M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的方程为2+y2+Dx+Ey+F=0用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、尸、因为。、M1.也在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程，可得D=-8解得E=6F=OF=O,DE+F+2=04D+2E+F20=0于是所求圆方程为：x2+-8x+6y=

14、0化成标准方程为：(-4)2+j-(-3)2=52所以圆半径片5,圆心坐标为(4,-3)说明：例4要求学生进一步熟悉待定系数法，并能将圆的一般方程化成标准形式，并求出相应半径与圆心半径.例2已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.解:在给定的坐标系里，设点MaJ）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合.将式两边平方,(x-3)2+-4化简得x2+y2+Zr-3=0化为标准形式得：（x+1/+y2=4所以方程表示的曲线是以C（一1,0）为圆心，2为半径的圆，它的图形如图7-35所示.例3求过原点及点A（IJ）且在X轴上截得的线段长为3的圆的方程。解：设所求圆的方程为：x2+y2+DxEy+F=0,贝IJrF=0tE+F+2=0又圆被X轴上截得的线段长为3,即D=3AD=+3,当D=3时，E=-5,F=O;当D=-3时，E=1,F=O故所求的圆的方程为：X2+y2+3x5y=0或2+y23Xy=0课堂小结圆的一般方程，能化成标准方程，进一步熟悉待定系数法思路，熟练求解曲线方程.课后作业习题7.75,6,7,8第三课时圆的方程教