圆柱面的内接球与圆柱面的平面截线 教学设计.docx

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1、2.2.2圆柱面的内接球与圆柱面的平面截线教学目标：1 .通过从平面图形向空间图形的过渡，了解圆柱面内切球的相关概念，提高空间想像力;2 .了解椭圆定义的推导过程.教学重难点：圆柱面的内接球与圆柱面的平面截线的相关概念.教学过程:探究1如图2-6所示，在圆柱面的轴上，任取一点C,过O乍垂直于轴的平面风则平面6在圆柱面上的截线是。（C,力.以防球心，T为半径作球，则。（C,r）在。（C,T）上任取一点，则。与过点涮母线垂直.过球半径的外端与该圆垂直的直线，都是球的切线，于是圆柱面的每一条母线都与球相切.易证，所有切点的集合是半径为r的圆，此圆称作切点圆.这时，我们说圆柱面与球面相切，该球叫做圆柱

2、面的内切球.如果平面6与圆柱面的轴线垂直，则平面5截圆柱面所得的截线是一个圆.此时称6平面为圆柱面的直截面.如果平面5与圆柱面的轴线成锐角，此时称平面5为圆柱面的斜截面.探究2如图3-5,A&8是两个等圆的直径A8/CD,A。、BC与两圆相切作两圆的公切线EE切点分别为耳、外,交84、OCW延长线于、交4。于G,交BC于G2.设EF与BC、CQ的交角分别为小.(I)G2K+G2外与AO有什么关系？(2)AQ的长与GG的长有什么关系?(3)G2与GzW什么关系？思考将图3-5中的两个圆拓广为球面将矩形ABCO看成是圆柱面的轴截面,将石反。尸拓广为两个平面a、AE厂拓广为平面人得到图3-6.显然平

3、面彩圆柱面的截线是椭圆根据上面的结论你能猜想这个椭圆的阶焦点的位置吗？我们猜想两个焦点可能在两个球与斜截面的切点上即过球心9、O2分别作斜截面的垂线其垂足不用就可能是焦点为此我们需要证明:对于截口上任意一点P,有P+尸用=定值探究如图3-6,当点P与G2重合时可以得到什么结论？当点尸在其他位置时,还有这个结论吗？由于图3-5就是图3-6经过母线A。、5或轴截面,由前面已有的结论,当点P与G2重合时,有GzK+G26=AD由于AD为定值,故点尸的轨迹是椭圆.当点尸不在端点时,连接尸TPFv则尸片、PK分别是两个球的切线,切点为耳、鸟.过户作母线,与两球面分别相交于k1Mpkcp（分别是两球面的切

4、线,切点为k（根据切线长定理的空间推广,知PE=pk,pf?=PK2,所以PK+PF2=PK1+PK2=AD.定义在一个平面内，到两个定点距离和等于定长（大于两定点的距离）的点的轨迹,叫做椭圆.如图3-8,设球O2与圆柱的交缆圆）所在的平面分别为内几椭圆所在的斜截邨与它们的交线分别为卜12,a.7与力所成的二面角为仇母线与平面日的交角为9由于。、夕、y都是确定的,因此交线，2也是确定的这样,我们就有理由猜想椭圆上的点与小乙有一定的关系我们还是从特殊情况阳台探究这种关系由前面对图3-5的探究可知,对于椭圆的长轴端点有些=CoSe=定值一G2E当点P在椭圆的任意位置时过P作的垂线垂足为。,过P作平面a的垂线垂足为&,连接K1Q,得RAPKQ,则NQPK1=夕.从而有篝=%=cos=定值将两个球嵌入圆柱内,使它们分别位于斜截面的上方和下方,并且与圆柱面和斜截面均相切,这是证明定理的关键.这种方法是数学家。即de而创立的,故将嵌入的双球称为Danddin双球.