微专题九.docx

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1、微专题九立体几何中的动态问题解题策略立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转.就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离.立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中也时有出现.在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜.1 .去掉枝蔓见本质大道至简在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键.例1如图1,直线

2、/_1平面,垂足为。正方体A3COA13C1O的棱长为2.点A是直线/上的动点，点B在平面Q内，则点O到线段中点P的距离的最大值为.答案2+2解析从图形分化出4个点0,A,Bi,P,其中4A08为直角三角形，固定A03,点P的轨迹是在与AB垂直的平面上且以A8的中点。为圆心的圆，从而OPWOQ+QP=/B+2=5+2,当且仅当OQ_1AB”且点0,Q,P共线时取到等号，此时直线AS与平面成45。角.2 .极端位置巧分析穷妙极巧在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案.例2在正四面体A-BCo中，E为棱BC的中点，尸为直线B。上的动点

3、，则平面AE尸与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是.答案停,1解析本例可用极端位置法来加以分析.先寻找垂直：记。为aACO的中心，G为OC的中点，则80_1面ACO,EGJ_面ACD如图2,过点A,E,G的平面交直线6。于点尸.此时，平面AEF与平面ACo所面二面角的正弦值为1.由图形变化的连续性知，当点尸在直线8。的无穷远处时，看成E尸和8。平行，此时平面AE尸与平面ACO所成二面角最小（如图3）,其正弦值为兴综上可知，平面AE尸与平面AC。所成二面角的正弦值的取值范围为既，1.3 .用法向量定平面定海神针在解决立体几何中的“动态”问题时，有关角度计算问题，用法向量定平面，可将线面角或

4、面面角转化为线线角.例3在长方体ABa）4向CQ中，己知二面角A一8。-A的大小为会若空间有一条直线I与直线CCi所成的角为去则直线I与平面48。所成角的取值范围是.答案1JT解析如图4,过点A作Af11B。于点E,连接4E,则NAEA=R过点A作AH_1AE于点H，则而为平面A的的法向量，且N4A=软为/与直线CG所成角的大小为:，即/与直线M所成角的大小为小那么/与直线AH所成角的取值范围为e*,：+目又因为/与直线AH所成的角和/与平面48。所成的角互余，所以直线/与平面48。所成角的取值范W图44 .锁定垂面破翻折独挡一面在解决立体几何中的“动态”问题时，对于翻折或投影问题，若能抓住相

5、关线或面的垂面,化空间为平面，则容易找到问题的核心.例4如图5,在等腰RtZXABC中，ABC,8C=2,M为BC的中点，N为AC的中点，D为线段上一个动点(异于两端点)，Z1ABO沿AO翻折至BD10C,点A在平面BCO上的投影为点O,当点。在线段上运动时，以下说法错误的是()A.线段No为定长B. CO(1,2)C. NAMO+NB1DA180D.点O的轨迹是圆弧答案C解析如图6,记良为B在平面Aoe上的射影，由BO_1OC可得良。_1oC.记&。交AB于点K,则OC_1平面B山2K.在aBQC中，作EM力交囱C于点E,连接AE,则平面AEM平面8山2K,平面AEM_1平面8OC,从而点A

6、在平面BQC上的射影0在直线EM上.取AM的中点“，则NH=；MC=；,OH=AMON=乎均为定长.易知点。的轨迹是以点为圆心、T为半径的圆弧，因为CO2=MO2+mG,且MO(0,1),所以CO(1,2),又NAMO+NAME=180。，ZAME=ZBiDKt由最小角定理知NB1DB2NBQA,于是NAMo+NBD4v180.故选C.5 .觅得定值明轨迹动中有静在解决立体几何中的“动态”问题时，探寻变化过程中的不变关系，是解决动态问题的常用手段.例5如图7,已知线段48垂直于定圆所在的平面，B,C是。上的两个点，是点8在AC上的射影，当点C运动时，点H运动的轨迹是()D.不是平面图形答案A解

7、析如图8,设G）O的半径为r,取BC的中点M,则OM工BC,MH=MC.因为AB_1平面BCD,所以Be是AC在平面BCo上的射影,从而OM_1平面A8C,得OM_1M”,于是OH2=MO2+MH1=MO2+MC2=f2t即O”=r,亦即动点”在以O为球心、，为半径的球面上.又因为8_1A。，8为定点，所以动点”又在过点B且垂直于直线AO的定平面上，故点H运动的轨迹是圆.6 .构建函数求最值一4数解形在解决立体几何中的“动态”问题时，对于一些很难把握运动模型（规律）的求值问题，可以通过构建某个变量的函数，以数解形.例6（2016浙江）如图9,在AABC中，AB=BC=2,NABC=I20。.若

8、平面ABC外一点P和线段AC上一点。，满足Po=OA,P8=84,则四面体P-BCD的体积的最大值是,解析设M,N分别为AC,AP的中点，因为BA=BP=8C,PD=DA9所以点8在平面附C上的射影为%C的外心O,且点O在直线NQ上.又因为A8=8C=2,NABC=I20。，所以AC=25,BO=yAB2-OA2yAB2AM2=1,当且仅当点O与点M重合时取到等号.设AQ=X,ZPDC=Ot因为AC=25,所以QC=2小一乂则S他c=%(2小一x)Sinx(23-x)乏臀鸿,当且仅当点M与点、D重合时取到等号.因此，四面体尸一BCO的体积为VpBCD=SPCD01=1,此时点O,M,O重合，即点。为AC的中点，且平面P3O与平面ABC垂直相交于BD总之，解立体几何动态问题的过程实质是数学建模的过程，是创新的过程.方程、函数和图形变换是基础，因此夯实基础是解决此类问题的关键.化整为零的思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、分类讨论思想等是解决立体几何动态问题的最佳策略.真正破解动态立体几何问题，需要整体把握动态变化过程，更需要深厚的空间想象之内功.如果说招式是术，那么内功就是修行，即不断积累知识与技巧、经验与经历.