盘点解析几何中的十大名圆.docx

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1、盘点解析几何中的十大“名圆”1.阿波罗尼斯圆在平面上给定两点A,B,尸点在同一平面上且满足小岂=4,当40且;11时,P点的轨迹是圆,称之为阿波罗尼斯圆(/1=1时尸点的轨迹是线段AB的中垂线)解析:设A(-c,0),5(c,0),P(x,y).因为AP=45P(cO,10且一1)由两点间距离公式得(x+c)2+y2=(x-c)2+/,rQ2+V(r)22219?化简得工一产C+y2=VC.所以点尸的轨迹是以JCiO为圆心,以YC,为半径的圆.I-1JU2-I)1k2-1)A2-I例1.满足AB=2,AC=2BC的ABC的面积的最大值是.解析:显然此题背景是“阿波罗尼斯圆”,建立如右图所示的直

2、角坐标系.由AB=2,AC=&3C知C=1,4=近,代入阿波罗尼斯圆公式得(x-3)2+产=8.设圆心为M,显然当CMJ_X轴时,面积最大,此时ICM1=2&.所以应.:1=;22忘=2点2.斜率圆动点尸满足对两个定点AB的张角是90(kpAAp8=T或者丽丽=。)确定隐形圆.该类型实质就是直径所对的圆周角为直角的应用.例2.设帆R,过定点A的动直线x+冲=0和过定点B的动直线比-旷-机+3=0交于点P(x,y),贝”尸PB的最大值是.解析:易得40,0)1(1,3).设P(xty),则消去?得:x2+y2-x-3y=0,所以点P在以AB为直径的圆上,PA工PB,所以WAF+12BF=IA例I

3、O,papb=5.3.内准圆22如图,已知M(%,%)是椭圆+=(abO)上一点,过坐标原点。分别向圆ab:。一%)2+(-%)2=/(0加作两条切线,切点分别为AB,且与椭圆交于点尸,。.若记直线IOPI2+IOQ/X2V2例3.如图,在平面直角坐标系my中,已知R(Ko,%)是椭圆C:彳+行=1上的一点,从原点。向圆R:aXo)2+(y%)2=8作两条切线,分别交椭圆于P,Q.(1)若直线OROQ的斜率存在,并记为加网,求仁山2的值;(2)试问IOPI+IO。/是否为定值?若是,求出该值,若不是,说明理由.解析:(1)根据题意,设直线。户的方程为y=人工,直线OQ的方程为y二&x因为直线O

4、P与OQ都与圆R相切所以:1yt)12,但了一%121化简得小&,=71122214XO1因为点R(%,%)在椭圆C上,所以今+普=1,即$=12-;耳,所以女儿=_彳24122x-82(2)当直线OROQ不落在坐标轴上时,设P(M,凹),。(,)由知2%,+1=0,所以生及=T,1ipy12y=-.xix24因为P(M,y),Q(x2,%)在椭圆C上,所以苴+很=1+餐=111(1即必2=12-8。=12-齐;,所以12J22=整理得“;+/=24,所以12-x122112-x12.所以OP?+QQ2=52+#+=(%;+%;)+(;+)=36.当直线OP,OQ落在坐标轴上时,显然有OP2+

5、OQ2=36.综上可知OP?+OQ?=36为定值.4.蒙日圆22椭圆*+*=I的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆:x2+y2=a2-b2.解析:若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在时,可得点P的坐标是(4,b),或(土。,-初满足要求.当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为O时,设点尸的坐标为(方,%)(Xoo,且%工),因此设过点P的切线方程为y-%=Z(XAO)(Z0),由,/人2得3一=心一/)(crk2+Z?2)x2-22(x0-y0)x+a2(Ax0-j0)2-a2h2=O.因为直线与椭圆相切,所以其判别式的值为0,得(x-2)2-2xoyoZs+-2=(2-6f2).

6、因为即人,即8是这个关于攵的一元二次方程的两个根,所以先9一/因此ZPJ勺4=-1x+y=a1+b2.进而可得f+产=+/.例4.已知椭圆C:,+*=1(。匕0)的一个焦点为(乔,0),离心率为坐.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(XO,打)为椭圆C外一点,且点尸到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.a2=b2+c2解析:(1)C_y5a3C=y5(2)设切点为A(XI,y),B(x2,y2).直线PA的方程:平+W=1o4%x+9yy=36,&pA=-*949V1直线PB的方程:.+型=Io/+%。=%,%,=慢949y2由PA与PB垂直得kpAkPB=-1=16xix2+8

7、1y1y2=0直线AB的方程:巴匹+=Ioy=-也x+色9490%椭圆方程4/+9),2=36,联立得到(9m+4年272x+324-81y=072r于是X1+X2=-Z-2-7,X1X2=9巾+4片1232481),:瓯+4片.16x1x2+81f-+-Y-I9%为人9%+=0=yx1x2+(9-xox1)(9-xox2)=Oy(r0+)z0)x2-9x0(+w)+81=O再代入,得到(X+M)最枭应。彘1+81=0=117y;09y;-9片y;=O=片+尤=13.即点尸的轨迹方程为+y2=13.5.彭赛列圆一个三角形外接于一个圆,内切一个圆,则外接圆可以有无数个内接三角形满足其内切圆为上述

8、的同一个.例5.(2023年全国甲卷)抛物线C的顶点为坐标原点。.焦点在X轴上,直线/:x=1交C于P,Q两点,且。尸1OQ.已知点M(2,0),且OM与/相切.(1)求C,G)M的方程;(2)设A,4,A是C上的三个点,直线A&,AA均与OM相切.判断直线44与OM的位置关系,并说明理由.解析:(1)依题意设抛物线C:y2=2px(pO),P(1,yo),Q(1,-No),vOPO2,.P=1-3=1-2p=0,.2p=1,所以抛物线C的方程为=x,M(0,2),G)M与=1相切,所以半径为1,所以OM的方程为(x-2)2+y2=1;设Aar),4。2,%),4(打必),若A4斜率不存在,则

9、A4方程为=或=3,若A4方程为X=1,根据对称性不妨设A(I,1),则过A与圆M相切的另一条直线方程为y=,此时该直线与抛物线只有一个交点,即不存在A.一不合题意;若A4方程为=3,根据对称性不妨设4(3,6),4(3,-6),则过A与圆M相切的直线AA为y-6=立(工一3),又以&=W二坐,=0,3Xr3凹+必3+y33x3=O,A3(O,O),此时直线A3关于X轴对称,所以直线与圆M相切;若直线A4,A4,&A斜率均存在,则=dm=dk%=v4v,所以直线A4方程为y-y=整理得一(弘+kU+nm=。,同理直线AA的方程为戈一(弘+外/+必必=0,直线44的方程为6(%+必)%丹=,I2

10、+yyIA4与圆M相切,112=1整理得(货一1)+2凹+3-),;=0,AA与圆M相切,同理+(y+y2)(yf-1)+2j1j3+3-=0,所以必,为为方程(#-1)1+2.+3-#=0的两根,%+%=一学M到直线&的距离为:XTM-I|2+3一);IJ2+.vj=I7=IJ;+H=公+1=11+(必+城(2y)2(-1)2+4+1所以直线44与圆M相切;综上若直线A4,A4与圆M相切,则直线44与圆相切.6.焦点三角形的内切圆结论:P为焦点在工轴上的双曲线右支(或左支)上任一点,则八。6心的内切圆与轴相切于右顶点A(或左顶点AZ例6.已知双曲线C:*-=1(UO)的左、右焦点分别为小尸2

11、,P是双曲线上一点,且(而+配可=0(0为坐标原点),若耳玛内切圆的半径为则C的离心率是()A.3+1B.立里C.逅上D.6+122解析:(加+丽)好=O,即为(加+质)(而一而t2)=0,即为加2=赤)可得IOP=C所以PG_1P/根据双曲线的对称性,不妨设点尸在第一象限,如图所示,由题意设斗鸟的内切圆切三边分别于G,D,E三点,则IPGI=IPEG耳I=IZ)用,%I=IZ)段.又IPKHP玛=2,所以IGNT%|=|耳Hf)段.设Z)(XCP0),贝IJXO+C-(C-XO)=2a,所以=,所以切点。为双曲线的右顶点,所以附I=IGPI+防=刊。用=。+。=弓+附|=|阳+囱=|网+r=

12、Cg在R1PFsF2中,由勾股定理得(当+cj+(C-IJ=Re)?,整理得4c2-4c-5=0,即4-4e-5=0,解得e=1,2又因为e1,所以C的离心率为=必1,故选:C.27.准线圆22结论:已知椭圆石:+上=1(。/?0),A8为过定点/(加,0)的动弦(0m立)的右焦点为尸,A、B分别为椭圆的左项点和上顶点,/的面积为a22+1(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点尸的直线/与椭圆C交于P,Q两点,直线AP、AQ分别与直线X=2应交于点M、N.以MN为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出该定点坐标;若不是,请说明理由.22解:(1)即椭圆C的标准方程为二十匕=1.42(2)已知点A(2

13、,0),设直线PQ的方程为R=(y+J,点P(Ai,乂),。(马,必)直线AP的方程为治(2),直线AQ的方程为y二氏(2),将X=2应代入直线AP、AQ方程,可得M(2(2忘+2),郊2立,(2近+2)%x12IIX2+2设以MN为直径的圆过定点P(m,),则PMPN=(),即局丽=(2&_机产+(2近:;)M_,(2应:箸j二(2向附2+(2立+2).(2近+2),-产+2),+(2立+2),x1+2x2+2(x1+2x2+2)_C)S曲2+(2&+2)凹(222)j2f(22+2)y(2+2)y22Zy1+2+2+2)r(y1y2)+(2+2)222联立椭圆亍+与=1和直线PQ的方程为X=)+J5,可得Qy+)2+2y2-4=0,化简得(r+2)y2+2y-2=0,即必+必=学巨,Y%=言1+21+2代入上式化简得=(2近一初)2,(2+2)2(-2)i(2+2)2f(-2)+(+2)(-2)12+

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