近世代数期末考试试题和答案解析.docx

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1、一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设G有6个元素的循环群，a是生成元,则G的子集（）是子群.AsB、C、D、2、下面的代数系统（G,*）中，（）不是群A、G为整数集合,*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,bC、a*b=a+2bD、a*b=Ia-bI4、设、是三个置换，其中=（12）（23）（13）,=（24）（14）,=（13

2、24）,则=（）A、B、C、D、5、任意一个具有2个或以上元的半群,它（）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分,共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个一一同构.2一个有单位元的无零因子一-称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于一O4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与一同构。5、A=1.2o3B=2.5o6那么AnB=-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-O7、叫做域的一个代数元,如果存在的一使得.8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为9、有限群的另一定义：一个有

3、乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、-O10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是o三、解答题（本大题共3小题，每小题10分,共30分）1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=1,(12),写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则”是E中的运算，(E,)是一个代数系统,问(E,)是不是群，为什么？3、a=493,b=391,求(a,b)a,b和p,qo四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分,共25分)1、若G,*是群,则对于任意的a、bG,必有惟一的xG使得a*x=b.2、设m是一个正整数，利用m定

4、义整数集Z上的二元关系:asb当且仅当mIa-b.近世代数模拟试题三一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内,错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是()oA、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群，G有()个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于()。A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次寐4、下列哪个偏序集构成有界格()A、(N,)B、(Z,)C、(2,3,4,6,12,|(整除关系)D、(P(A),)5、设S3=(

5、1),(12),(13),(23),(123),532),那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有()A、(1),(123),(132)B、12),(13),(23)C、(1),(123)D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题,每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是的，每个元素的逆元素是一的。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则3、区间1,2上的运算的单位元是-O4、可换群G中IaI=6,x=8,则Iax=.5、环Z8的零因子有o6、一个子群H的右、左陪集的个数-o7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的一o8、无零因子

6、环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-o9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为o三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、Si,Sz是A的子环，则SSz也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。1 .求和；2 .确定置换和的奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题IO分，第2小题15分,共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=Qi的充分必要条件是QbQ=Q和Qb2=e（近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、C;2D；3、B;4、C;5、D；二

7、、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）。1、；2、单位元;3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构；7、零、-a;8、S=I或S=R;9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分,共30分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：2、解：设A是任意方阵，令，则B是对称矩阵,而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即：，所以,表示法唯一。3、答:(，)不是群，因为中有两个不同的单位元素。和m。四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15

8、分，共25分)1、对于G中任意元X,y,由于,所以(对每个X,从可得)。2、证明在F里有意义,作F的子集显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分).1、 C;2D；3、B：4B：5、A：二、填空题(本大题共10小题,每空3分，共30分)。1、变换群；2、交换环；3、25;4、模n乘余类加群;5、2;6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立;10、交换环；三、解答题(本大题共3小题，每小题10分,共30分)1、解：H的3个右陪集为：I,(12),(123),(13),(132),(23)H的3个左陪集为：I,(1

9、2),(123),(23),(132),(13)2、答：(E,)不是群,因为(E,)中无单位元。3、解方法一、辍转相除法。列以下算式：a=b102b=310285102=185+17由此得到(a,b)=17,a,b=ab17=11339o然后回代：17=102-85=102-(b-3X102)=4X102b=4X(ab)b=4a5b.所以p=4,q=-50四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分)1、证明设e是群G,夫的幺元.令x=a1*b,则a*x=a*(a1*b)=(a*a1)*b=e*b=bo所以,x=a1*b是a*x=b的解.若xG也是a*x=b的解，则,=e

10、*x,=(a-1*a),x,=a-1*(a*x)=a1*b=x.所以，x=a1*b是a*x=b的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm,每个整数a所在的等价类记为a=xZjmIx-a或者也可记为,称之为模m剩余类。若mIa-b也记为ab（m）o当m=2时，Z2仅含2个元：0与1o近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分,共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 C：2、C;3D;4、D；5、A;二、填空题（本大题共10小题,每空3分，共30分）请

11、在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分。1、唯一、唯一；2、；3、2：4、24：5、；6、相等;7、商群；8、特征；9、；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如,全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等,可得总共8种。2、证由上题子环的充分必要条件,要证对任意a,bS1S2有a-b,abS1S2:因为S1,S2是A的子环，故a一b,abS1和ab,abS2,因而a一b,abS1S2,所以S1nS2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1.,;2 .两个都是偶置换.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a,由理想的定义，因而R的任意元这就是说=R,证毕。2、证必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e,ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e,所以b=a-1o