2023年专题基本不等式常见题型归纳教师版.docx

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1、专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）,bR,+b2N20b,当且仅当a=b时取等号.（2）,6R+,a+b2-abf当且仅当a=b时取等号.（3）aR,错误!W（错误!未定义书签。B当且仅当a=b时取等号.上述三个不等关系揭示了/+62,ab,a+b三者间的不等关系.其中，基本不等式及其变形:a,bR+,a+b22r（ab）（或abW（错误!未定义书签。产），当且仅当a=6时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值;当积为定值是,可求和的最值.运用基本不等式求最值:一正、二定、三等号.【题型一】运用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2023-2023学年度第一学期期末11）己知qa1且2

2、1oga6+31ogz,a=7则1的最小值为,3,1【解析】丁且2kgb+3k）gz,a=7.21ogZ?+=7,解得IOgab=一或2IOgab=3,b11ogb=-a=b2.a+一=a-!F12Zr-Ia-21-i）J-+i=3.Va-练习：1.（南京市、盐城市2023届高三年级第一次模拟10）若实数工,满足了0,X1+y2且IOg,X+1og,y=1,则的最小值为,x2+y2（X-yf+2xy4（X-y）+解析：由Iog2+1og2y=1可得Iog-Xy=1=Iog12,贝IJ有xy=2,那么=22J（X-y）=4,当且仅当（Xy）=-,即X=J+1,y=JiVX-yX-yr+v1时等号

3、成立，故的最小值为4.-y2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2023届高三上学期期末）若实数X,y满足131芝+3%=3（0%0,b0,c2,且a+b=2,则accc5J1nt“一+的最小值为.bab2c-2典例2（南京市2023届高三年级第三次模拟-12）已知X,y为正实数，则错误!未定义书签。+F（y,x+y）的最大值为.解析：由丁错误!+错误味定义书签。J弋也y（4x+y）=丁丁姓+）：（4x+y）（x+y）4x+5xy+y=1+挈7=1-W1+I3=错误!未定义书签一底+5孙+丁4y+52以;+5yXVyx当且仅当4-=上,即y=2时等号成立.yX【典例3】若正数。、满足曲=+

4、b+3,则+b的最小值为.解析：由a,beR.,得。b=0+3（!）2,（。+b）243+。）-120,解得4+b6（当且仅当”=力且出?=a+Z?+3,即=h=3时，取等号）.变式：1.若R+,且满足+=。+,则。+6的最大值为.解析:由于a,所以由/=+b=4+h=a2+101,（a+b）2-22（+b）0,解得00,丁0,工+2丁+2孙=8,则工+2旷的最小值为43 .设,yR,4+y?+盯=,则2x+y的最大值为V4 .（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2023届高三上学期期中）已知正数满足-+-=4ab-5,则访的最小值为ab【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2023屈

5、高三上期末调研测试）已知正数x,y满足x+y=1,则41+x+2y+的最小值为11419V练习1.（江苏省镇江市高三数学期末-14）已知正数苍y满足+1=1,则一上十卫二的Xyx-1y-1最小值为.解析：对于正数x,y,由于1+!=1,则知X1,y1,那么叫+生=（生+生）（1Xyx-1y-1x-y-111,4X4y,x-1y-1I4xx-I4yy-1,WcI+1-)=(-+-仔(J7M-2-)=25,当且Xyx-1y-1XyVx-1xy-1y仅当四1时等号成立.x-1yy-X2 .（20232023学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）11）已知正数%），满足x+2y=2,则士也的最小值为

6、.二=曳时,取等号.故答案为：9.2yX3 .（南通市2023届高三第一次调研测试12）已知函数y=优+hS（）的图像通过点41尸（1,3）,如下图所示，则+的最小值为.a-b(第12摩)411411a-解析：由题可得a+b=3,口.a1,那么二一+上=1(a-1+b)(+-)=1(4+a-h2a-h2b+1)-(2E+5)=-,当且仅当U=色时等号成立.a-12ba-2ba-4.(江苏省苏北四市2023届高三第一次模拟考试12)己知a,b为正数，且直线0r+力-6=0与直线2x+S-3)y+5=0互相平行，则2a+3b的最小值为2b-3【解析】由于直线a+by-6=0与直线2x+(b-3)y

7、+5=0互相平行，则有二二丁”,即-+13=25,当且仅当丁=,即a=b时等号成立.baha5 .常数/和正变量x,y满足a6=.16,错误!未定义书签。+f(26,y)=f(1,2).若+2y的最小值为64,则ab=.答案：64;(考察基本不等式的应用).(2a+b)b(2b+aa6 .已知正实数出6满足7二I、，+/2=1,则。匕的最大值为.【题型三】代入消元法-a-b【典例5】(苏州市2023届高三调研测试14)已知加=1aS(0,D,则一!一十二一的最小值为.rh,1ZM124b2-b1+2b-211b-解析:Ehab=一得=，+=+=；=1+z44b-a-b4/?-1-b-4b2+5

8、b-Ab2+5b-17b-1I49r1494&1+=1+5T=1TZ4+令7b-1=t则4zr+5z,14r27z-184+-273当且仅当tt=-即逑主2等号成立.214答案：4+g&.建汉解法：首先w(11),消去6,得1+2=r1+IM=1+4+241-a1b1a4o11a4a1io414?方法:id5=+=-+=(4-4)+(4a-)-+-J1a4a144。41344，4。-1=2+4冷+竽三122+10.等号能取到.340-14-4。3说明：-般地.若常数.b.c.dR+.变址x.yCR+则(x+()2(，+/6)?.若不等式左边有一个因式是常数.则可求另一个因式的最小值.练习1.（

9、江苏省扬州市2023届高三上学期期末-12）设实数X,y满足X?+2Xy-I=O,则2+y2的最小值是解析:由x2+2xy1=0可得y=2x,那么2+y2=XQa4x244x2244x2222“MU乂=7,即4=时等号成立.44x52.(苏州市2023届高三调研测试13)已知正实数x,满足f,则X+y的最小/.(0x0/2,且+8=3,则使得一+取得ab-2最小值的实数。=O5 .设实数y满足X2+2Xy1=0,则X+y的取值范围是6 .已知x,y,zR,且x+y+z=1,x2y2+Z2=3,求孙Z的最大值为【题型四】换元法【典例6】(南京市、盐城市2023届高三年级第二次模拟考试13)已知函

10、数f(x)=a2+x-b(a,b均为正数),不等式/(x)0的解集记为P,集合Q=x2fx2+.若对于任意正数t,PQH0,则错误!未定义书签。-F(1,8)的最大值是.【解析】由题意可知任意正数3集合Q=xI-2-tVx0,故则错误!未定义书签。一F（1,6）的最大值是32F(1,2).2.（2023年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷14）已知正数a,b,c满足b+ca,则互告的最小值为.ca+b解法一:二正数a,b,c满足b+ca,当且仅当堂就时取等号.故答案为：/2解法二：由b+c得2+1q,令2=y,则+Ny,2+=+!CCCCca+bx+y所以2+=+=1(2r+1)+

11、-i-2j-=2-,当ca+bx+y2x12v72x12丫222且仅当x=也二时等号成立.故夕+工的最小值为0-.2ca+b2练习1.（江苏省南京市2023届高三第三次模拟14）若实数xty满足2x2+xy-y2=1Mx-2y5X2-2xy+2y2的最大值为解析:由2x2+y-y2=1可得，(2x-y)(x+y)=1,令2x-y=f,则x+y=；,y中T+J代入5.2）7得温令TF则m疗+2同二1疗+2I小向,当且仅当ImI=及时取等号，故Uf7的最大值为日r,V2.设Ky是正实数且+=则-TwT的最小值是一.解:设x+2=s,y+1=，则$+1=4,所以W+三=(s-4+5+(-2+9414

12、1=(5+/)+(-+-)6=(+-)2.由于q+11(3+3(s+r)=13+5)2stst4st43.若实数XJ满足2f+xy-卢=1,则f（x-2y,5f-2孙+2./）的最大值为.错误!未定义书签。4.（江苏省苏、锡、常、镇2023届高三数学教学情况调查数学试题（一）14）若实数满【题型五】判别式法24【典例7】南通市2023届高三第三次调研测试14.已知正实数X,y满足x+4+3y+=10,则Xy的取值范围为.得:【解析】设N,则代入练习1（泰州市2023届富三第一次模拟-13）若正实数满足,则的最大值为.,则,因此【解析】令.IUn1UU1111IIUU1UU1MU1rCZ/2。一2）。0。+加0