专题39 几何最值之阿氏圆问题热点专题（含答案解析）.docx

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1、专题39几何最值之阿氏圆问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2023年中考数学考点总复习（全国通用）专题39几何最值之阿氏圆问题方法技巧问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（kD,则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆.这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆模型展示：如图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（kri）,则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.SABD_A8DESACDACXDF于点D,角平分线定理：如图，在AABC中，AD是NBAC的角平分线,则就=而ABABDB就即就=灰（2）外角平分线定理：如图，在

2、AABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线1ABDB则一=一ACDC证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BDJ1JACDAED(SAS),CD=ED且AD平分NBDE,贝嘿嚏,艮嘿嘿.接下来开始证明步骤：如图,PA：PB=k,作NAPB的角平分线交AB于M点,根据角平分线定理,箫徐Z故M点为定点，即NAPB的角平分线交AB于定点；作NAPB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，黑=%，故N点为定点，即NAPB外角平分线交NBPB定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆.i算必+火28的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得+A

3、P8的值最小，解决步骤具体如下:如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OBCP计算出这两条线段的长度比W=AOdOCPC在OB上取一点C,使得而=即构造POMsZBOP,则丽=A,PC=kPBWJPA+k.PB=P+PCAC,当A、P、C三点共线时可得最小值II1jB型精济1 .如图，已知正方形ABCD的边长为4,(DB的半径为2,点P是。B上的一个动点,则PD-TPC的最大值为.2 .如图，菱形ABCQ的边长为2,锐角大小为60。，A与BC相切于点E,在A上任取一点P,则PB+立PD的最小值为.3 .如图，在RtABC中，ZC=90o,CA=3,C8=4.二C的半径为2,点P是。C

4、上一4.如图，矩形ABCQ中，A8=4,AD=2,以B为圆心，以BC为半径画圆交边44于动点，则+的最小值.点E,点P是弧CE上的一个动点，连结PaPA,则g”+QP的最小值为（）DA.10B.则P+gpc的最小值.C.13D.145.如图，已知菱形ABCQ的边长为4,/B=60。，8的半径为2,P为B上一动点,.PC+走P。的最小值.66 .如图，在AABC中，NAC8=90。，BC=I2,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D连接A。、BD,C,则2AQ+38O的最小值是.7 .如图，抛物线y=+Zu+c与X轴交于A（J,0）,B两点（点8在点A的左侧），与V轴交于点C,且O8

5、=3OA=JC,NoAC的平分线AO交轴于点O,过点A且垂直于AD的直线/交）轴于点E,点P是X轴下方抛物线上的一个动点，过点尸作PF_1X轴，垂足为尸，交直线Ao于点（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为小，当=P时，求机的值；（3）当直线P/为抛物线的对称轴时，以点”为圆心，BC为半径作Ht点Q为月上的一个动点，求1AQ+EQ的最小值.48 .如图1,抛物线尸*-6or+6(在0)与X轴交于点A(8,0),与y轴交于点B,在X轴上有一动点E(m,0)(0V?V8),过点E作X轴的垂线交直线A5于点N,交抛物线于点P,过点尸作PM_1A8于点M.(1)分别求出直线48和抛物线的函数表

6、达式；(2)设APMN的面积为S/,A4EN的面积为S2,若S/：02=36：25,求机的值；(3)如图2,在(2)条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转得到旋转角为以0。90o),连接A、E,B.在X轴上找一点Q,使aoqesaoa,并求出。点的坐标；求班WAEZ的最小值.9 .如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-J2+!+3与X轴交于a、8两点(点A84在点8的右侧)，与y轴交于点C,过点。作X轴的平行线交抛物线于点P.连接AC(2)如图2,过点P作X轴的垂线，垂足为E,将线段OE绕点。逆时针旋转得到。尺旋转角为(0oa =,PHAP3：.PH二立PD,2当5、P、”共线时，PB+且Pz)

7、的最小，最小值为长,2BH=BF2+FH2=y(3)2+2.52=;故答案为：叵.2【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题.3.加处3分析】在BC上取点D,使CD=；BC=I,利用相似三角形的判定和性质推出PD=；PB,得到PA+PB=PA+PDADt即可求得AP+BP的最小值AD的长；42在AC上取点E,使CE=同的方法即可求得P8+P4的最小值BE的长.【详解】在BC上取点。，使CO=,BC=I,连接40,PD,PC,Bt由题意知：PC=2,DCPCI：=-,/PCD=NBCP,PCBC2；APDCsBPC，.PD=1PB,2PA+-PB=PA+P

8、DAD,2ad=ac2+cd2=9+T=ioP4+刎的最小值为加,故答案为：yjci；4在AC上取点E,使CE=连接PEBE,PC,.CE,*PCPC2=一，且NPCE=NACP,AC3：NECSMPC,PEPC2*PAAC3,PE=-PAf3：PB+-PA=PB+PEBEt3，BE=g+CE、M令=平P8+PA的最小值为勺萼，故答案为：逆.3【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定,解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点.4. C【分析】连接BP,取BE的中点G,连接PG,通过两组对应边成比例且夹角相等，证明.BPGBAP,得

9、到PG=TAP,则(AP+。P=PG+QP,当P、D、G三点共线时，取最小值，求出DG的长得到最小值.【详解】解：如图，连接BP,取BE的中点G,连接PG,V ：AD=BC=BP=2,AB=4,BP2V *A=4=2,.G是BE的中点，.BGIt*BP2f.BPBGtBABPfV PBG=AABP.BPGBAPt.PGBP1*AP-BA2,：.PG=-AP,2则:4P+OP=PG+OP,当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长,DG=ADi+AGr=4+9=i3故选：C.【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将：AP转换成PG,再根据三点共线求

10、出最小值.5.目叵3【分析】在BC上取一点G,使得BG=I,作OA18C于立利用相似三角形的判定和性质推出PG=TPC,得到PO+TpC=Z)P+PG,由OP+PGZQG,推出当。、P、G共线时,PD+gpC的值最小,最小值为QG,再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理求解即可；连接B。，在BO上取一点M,使得BM=立，同一的方法利用相似三角形的判定和性质3推出PM=迫PD,当M、P、。共线时，PC+且PO的值最小，最小值为CM,再利用含6630度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可.【详解】如图，在BC上取一点G,使得BG=I,连接PB、PG、GD,作DF1BC交BC延长线于F. .PB_

11、2BC_4 一-Z，-Z，BG1PB2.PBBC =，BGPB*：/PBG=ZPBC,：.BGACBP,PGBGPCPB2t：.PG=-PC,2：.PD+-PC=DP+PG,2：DP+PGDG,.,当。、P、G共线时，PZHgPC的值最小，最小值为。G,在RACQ尸中，ZDCF=60o,CD=A,/.DF=CDsin60o=23，CF=I,在R仙GDF中,DG=J(2后+(5)2=历,故答案为：y37；如图，连接8。，在8。上取一点M,使得BM=正，连接PB、PM、MC,3过M作MNJ_BC于N.Y四边形ABCO是菱形，且NABC=60%；AC上BD,NAOB=90。，ZABO=ZCBO=-ZABC=30o,2.t.AO=AB=2fBO=AB2-AO1=74?-2=2/3，：.BD=2BO=43，：.BMPBBQPB26-j-=f,而二语F.BMPBJi=,PBBD6且/MBP=NPBD,MMBPfPBD,.PMPBW=,PDBD6PM=-PD,6:PC+BPD=PC+PMMC,6当M、P、C共线时，PC+且