二维对称设计17种平面对称2.docx

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1、二维对称设计：17种平面对称前11个对称群可以用一个正方形的基本单元来表示。剩下的六个需要一个除正方形之外的基本单元。例如，第十二个对称组需要一个直角三角形(对角切成两半的正方形)。用于在该对称组中创建图案的拼块是正方形。最后五种形状要求其倍数形成菱形或六边形拼块60。菱形、等边三角形和90。、60。、30。三角形。第十六对称群有一个基本单元，它是一个半六边形，一个四边风筝形状，角度为120,90,60,90,或一个三角形，角度为120,30,30o图4.1中所示的形状可用于这些剩余对称组中的图案布局。图4.1单元格用于实验接下来的六种对称。传统块(p4m)对称组是最常用的一种，尤其是在拼布和

2、被子设计中。事实上，所有传统的被子块绝大多数都是由这种对称性构成的，这也是我给它取这个名字的原因。主单元是一个90,45,45的等腰直角三角形，通过镜像该三角形的长边，然后沿着镜像线的一个角度旋转这些单元中的四个来创建单幅图块。需要八个基本单元来创建重复的拼块，其中四个正面朝上，四个镜像或反转。标准符号一p4m标准的符号系统将这种对称性标记为P4mo由于m紧跟在4之后，主单元必须首先被镜像(m),并且结果在由镜像形成的直角上旋转四次(P4)。为了练习在这个对称组中创建图案，你可以将前11个对称中的正方形单元沿对角线切成两半。使用八个相同的三角形，制作四组镜像对，镜子沿着三角形的长边。将一对叠放

3、在另一对的顶部，所有的都朝向同一个方向，然后将它们围绕由镜像线形成的两个角中的一个旋转。然后可以重复所得到的拼块以形成整体图案。根据使用的单元，会出现四种不同的图案。旋转点的位置非常重要。镜像单元格后，它将旋转两个新的90度角中的一个，而不是原来的三角形。如果镜像单元格在三角形中旋转90度，将出现镜像风车(p4g)图案。图4.4在印度斋浦尔的窗户上发现的切割石材图案；该图案是传统块(p4m)对称性的一个例子。图表显示了如何创建图案。ArirrunyCtZICMimyrox/Onwee，。hJhrOMVdGMgto/fhtbgitdcrnrofofrdaMfhrWuVE9。”&fhv8oVpot

4、1vfn图4.5印度斋浦尔琥珀宫的马赛克地板，展示了传统砌块(P4m)对称性的一个例子。m(dtihA，H好hciftE81bporfvn，uqi，90upOfmi，we/*6cA13三重旋转(p3)对称需要一个60菱形的主单元来创建三旋转(P3)对称组的单幅图块。不需要镜像或反向单元。就像在中点旋转(p2)和风车(p4)对称组中所做的那样，简单地旋转单元。影印图4.1中所示的菱形单元格，剪下其中三个，并以相同的方向将它们堆叠在一起。在两个120度角中的一个上放一个大头针，然后围绕那个角度旋转钻石，直到它们形成一个六边形。这种拼块然后重复形成整体设计。旋转两个角度中的哪一个并不重要。无论哪种情

5、况，都会出现相同的图案。图4.8和图4.9所示的图案是三重旋转(p3)对称的例子。标准符号一p3p3标记指的是创建图块所需的三(3)重旋转的主单元(p)。图4.7创建具有三重旋转(P3)对称性的图案图4.9折纸zJinnyBeyer,1997o三重旋转(p3)对称的例子。14六重旋转(p6)对称六重旋转(p6)对称群中的图案可以产生等边三角形或风筝形状。创建图块需要六个单元格，都是正面朝上的，只需将这些单元格旋转60。即可。要创建拼块，剪下6个等边三角形，如图4.1所示;将它们堆叠在一起，朝向相同的方向；在其中一个角上放一枚别针；旋转它们直到它们形成六边形拼块。当一个等边三角形被用来创建这个对

6、称组时，根据哪个角被旋转，可以生成三个不同的图案，如图4.11所示。图4.12和4.13显示了六旋转(p6)对称的其他例子。图4.11o根据旋转的角度，可能有三种不同的图案。标准符号一p6p6标签显示主单元(P)需要六次旋转(6)来完成密铺。图4.10创建具有六旋转(p6)对称性的图案Ro1o1vsixcu11saroundo6o*o()kt.图4.11根据旋转的角度，可能有三种不同的图案。图4.12JinnyBeyer的狂想曲细节(第166页)展示了一个六重旋转(p6)对称的例子图4.13展示六旋转(p6)对称示例的织物设计15.镜像和三重旋转(p3m1)对称性当在镜子和三重旋转(p3m1)

7、对称组中创建图案时，等边三角形也被用作主要单元，但这一次，由于出现了镜子，三角形将需要被影印到纸上。此对称组的图案是通过首先镜像三角形的一边，然后沿镜像形成的角度旋转结果三次来创建的。如果你把镜子放在主单元的四周，你会看到这个图案。要创建拼块，制作三个相同的三角形镜像对。将得到的钻石以相同的方向堆叠在一起，然后将它们旋转120度。无论三角形的哪一侧首先被镜像，整体设计将保持不变。HWntMH1tZf“4chMffc4fnujVhcir图4.15展示三重旋转(p3m1)对称示例的织物设计ACfIfAt图4.16显示镜面和三旋转(p3m1)对称性的图形设计。将其与第78页所示的相似类型设计进行比较

8、，但具有三个旋转和一个镜像(p31m)对称性。不同的对称操作会在图案中产生细微的差异。V*IZuf0*16三重旋转和镜像对称(p31m)该对称组中图案的基本单元可以是半个六边形、半个60。菱形或风筝形状(风筝形状的角度为120。、90。、60。、90。)。总共需要六个原始单元来产生拼块，其中三个正面朝上，三个反面朝上。使用图4.1中影印到醋酸纤维上的风筝形状，将三个单元正面朝上堆叠在一起，所有单元都朝向同一方向。将它们旋转120度，直到它们形成等边三角形。制作另一个完全相同的三角形，然后镜像它以形成菱形拼块。这些钻石然后转化成图案。插图4.17显示了用风筝形状创建的单幅图块。图4.19显示了可

9、用于这种对称的半菱形。图4.17使用三次旋转和一个镜像(p31m)对称创建图案。图4.18.4.20和4.21显示了由三次旋转和一个镜像对称形成的图案，图中显示了单元和拼块。图4.18.显示三个旋转和镜像(p31m)对称示例的织物设计。图4.19用30。、30。和120。三角形(或半菱形)说明的三个旋转和一个镜像(p31m)对称。图4.20Satsuma图板是三个旋转和一个镜像(p31m)对称的例子。图表显示了设计是如何创建的。与图4.16相比，图4.16具有相似的外观，但使用了不同的对称操作，从而产生了细微的差异。图4.21丘比特失火是三次旋转和镜像(p31m)对称的一个例子。图表显示了设计

10、是如何创建的。标准符号p3m1和p31m人们很容易混淆p3m1和p31m,然而这两个对称群产生非常不同的图案。两者都有三重旋转，都包含镜子。但是如果你记得标准符号系统是如何组织的(参见第24页到第29页)，这就更有意义了。我对这些符号的解释如下：因为每一个对称都需要旋转三次，所以必须有一个120度的旋转角。对于p3m1,m紧跟在3之后，这意味着必须首先镜像主单元，然后旋转三次(P3)。因此，你必须从一个有60度角的等边三角形开始。形状镜像后，60。角加倍为120,然后可以围绕镜像线形成的两个120。角之一进行旋转。对于p31m,第四个位置的m表示主单元在被镜像为m之前必须先旋转三次(p3)。这

11、些标签中的1用于明确(m)的位置。1基本上是一个分隔符，意味着单元格的另一边没有任何动作。因为在这种对称性中旋转首先发生，所以原始单元必须具有120。的角度，旋转可以围绕该角度发生。风筝形状、半个六边形和半个60。钻石都适合这种对称。17.万花筒(p6m)对称当通过万花筒观察时,人们可以看到一个形状的各个侧面都有镜子，产生错综复杂的变化图案。根据万花筒内镜子的角度，会出现不同的设计。虽然前面讨论过的几个对称群可以通过在主单元的四面放置镜子来形成，但在我看来，这个更像是一个真正的万花筒，这就是我为什么给它起这个名字的原因。标准符号一p6mp6m的标记系统如下：因为紧接在6后面有一个m,所以主单元

12、在旋转六次(p6)之前必须首先被镜像(m)。图4.22使用万花筒(p6m)对称创建图案JwvrhemuUfrfrar1fcUupchtwOFOutcfthe6*cV1.万花筒(p6m)对称组中的图案形成方式几乎与镜子和三旋转(p3m1)对称组中的图案完全相同。然而，这一次，不同形状的三角形(90,60,30)是主要单元。通过在三角形的所有边上放置镜子可以看到这个图案。要创建拼块，制作六对镜像三角形。镜像两条最长边中的任何一条，因为在任何一种情况下都会产生相同的图案。如果镜像最长的一边，结果将是一个风筝形状；如果镜像第二长的边，结果将是一个等边三角形。将镜像的一对堆叠在另一对之上，所有的镜像都朝

13、向相同的方向，并将它们旋转六次以形成拼块。在风筝形状的情况下，确保旋转发生在60。角附近(图4.22)o图4.23菱形图块也可以通过镜像单元格的长边、将结果旋转120并镜像该三角形来创建。不管怎样，结果都是一样的。如图4.23所示，菱形拼块可以用来形成图案，但创建拼块要复杂一些。由于整体图案是相同的，我发现最简单的方法就是创建六边形拼块。这里展示的紫苏盒子的细节和下页的两个例子展示了万花筒(p6m)对称性的其他例子。图4.24来自JinnyBeyer的紫苏盒子(第66页)的细节描绘了万花筒(p6m)对称性。每个六角形都有p6m对称性，较大的六角形包含七个较小的六角形。圣诞万花筒，南希约翰逊，1997。这张被子是万花筒(p6m)对称的一个例子。图4.25显示万花筒(p6m)对称示例的织物设计。二维对称群的总结这两天的文章解释了如何通过使用17个对称群，可以创建大量的二维图案。对这些概念的透彻理解将极大地有助于你创建自己的图案，这对于理解互锁或镶嵌设计是如何开发的尤为重要。最好的学习方法是自己操纵初级单元。光线，金妮拜尔，1977。整个被子是双镜对称(PMM)的一个例子，也就是二维对称。在边界图案中可以发现三种不同的线性对称性：双镜(Mm)、垂直镜(M1)和平移(11)。