数列难题突破之裂项与放缩.docx

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1、数列难题突破之裂项与放缩目录1 .数列裂项与放缩的作用12 .常见的数列裂项及放缩1?放缩技巧1?经典例题2?方法归纳6?方法一：先求和后放缩6?方法二：先放缩后求和8?方法三：裂项放缩12?方法四：公式放缩15?练习提升153 .裂项法求和254 .裂项法求和小结回顾：255 .裂项、放缩法证明求和不等式266 .和式不等式小结回顾：267 .连乘不等式的证明268 .总结：279 .课后作业2710 .答案281.数列裂项与放缩的作用裂项与放缩是高考数列题常用技巧主要有以下3类应用1 .裂项法求和2 .裂项、放缩证明求和不等式3 .放缩证明连乘不等式2.常见的数列裂项及放缩放缩技巧所谓放缩

2、的技巧：即欲证48,欲寻找一个(或多个)中间变量。，使C8,由,4到。叫做“放”，由8到C叫做“缩”.常用的放缩技巧(1)若0M+,-(2) n-n+n-Vw+T-1Vw-1w(w+1)=n(3)1-1=4-nn+w(w+1)nn(n-)n-n2222(w+1-Tw)=尸-7=-7=,(因为-n(w-1)w+w+1w+2w+3或+-左(左+1)k2k(k-)+1/?+2w+3oo故”得证样也实现J我们的初步想法也易让学生接受.易验证当n=1.2时Vrt1.综上例3、已知正项数列：/；满足q=H7=H+（1） 判断数列的单调性：I111】（2） 求证，-s一一r=故向即，*q,故数列Iqj为递增

3、数列.11_（2）不妨先证M一五二（+D2原解答中放缩技巧太强,下面给出另一种证法七-金嗑”金嗑-东-古吗公j品*仁高川到了炼出川法%焉这种常耐I这种证法还是比较自然的.也易让学生接受.(w+1w1+当N2时,+1n!I1I1.-7=7=yjaMyJcnti(w+1w+2)+I+2易聆证当n=1时.上式也成立.方法归纳国翻方法一：先求和后放缩例1正数数列j的前项的和.；，满足2E=q,+1,试求：(1)数列j的通项公式：(2)设“=一，数列也的前项的和为优，求证：n-2解:(1)由已知得4S,=(4+1f,2时，4S=(z+1)2,作差得：4art=a：+2a“-a；_1-2art,所以(q1

4、+a“)(qfq”-2)=0,又因为4为正数数列，所以4-an=2,即；/是公差为2的等差数列，由2二处+1,得=1,所以“=2-I“、111IzIIv(2)b=(),a1ta1t.(2w-1)(2w+1)22w-12w1工,“cI1I1I、II1所以B11=(I+)=-23352/-12+122(2n+1)2注：一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后来和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比费列(这里所谓的差比数列，即指数列4满足条件%.,-q=/()求和或者利用分组、案项、倒序相加等方法来求和.例2已知a.=2-1(wA)

5、.求证：V-+-+.(/?；V).23%/j.互=22，_1_=1!_1-11a.=i2.-2u1-122(2m,-I)23.24+21-2232若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小.由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的.本题在放缩时就舍去了2-2,从而是使和式得到化.日翻方法二：先放缩后求和O1放缩后成等差数列，再求和例1.已知各项均为正数的数列an的前项和为S,且a；+a,1=2asu.(2)求证:求证：S11瓜+日+值+6O.*.tz=1又由条件q；+%=2S有/=2S“x，

6、上述两式相减，注意到4M=S用-S得(%q,)(+-/-1)二0./O.为+】+%q,+_%=1所以，。=1+1x(-1)=，S=S+D所以s5+1)1w2+(w+1)2zf+12一=2224+”1=/+3-4_222222牛病+后丧+寻+东=筌*例2.已知数列qj满足：4=1Mm=1+(/(=1,2,3).0,所以%0,即4用一4=万7%，即%+%所以数列%为递增数列，所以为q=1,1-222n1_1r,122t，所以5=级+1n-TH+1Y11所以S=2行，所以43行，故得q,q,302放缩后成等比数列，再求和例.(I)设“，N,2,证明：/”一(一丫(+h”;(2)等比数列“中，a=-,

7、前项的和为4,且上，4,4成等差数列.22.设,=_4_,数列娟前项的和为儿，证明：b,a,于是，=m+)(+1)当为偶数时，一14,且砂加2,于是a/_(_q)(a。-In1,I71=5-WPj(即前面某数大于后面某数)，则称人与马构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列+(-I)321的逆序数为仇，如排列21的逆序数q=1,排列321的逆序数=6.(I)求“八“s,并写出“的表达式;(2)令-+1,证明22.*n+2nVw2n-Edw+2-221.又因为“=1=2+,n=1,2,w+2nnw+2所以4+A+4=2w+2(-)+(-)+,+(-)1324nw+222=

8、2w+32w+3.w+1w+21k(k+)1万综上，24+b2+bf12n+3,n=1,2,.注：常用放缩的结论：(1)!-J-kk+(2)2(y=r-)=-7=.-T=Jkyjk国翻方法三：裂项放缩O1证不等式含有与自然数n有关的n项和1A),证明：因为：=-=产V=/=2(nn1),则1+-F=+=+ynn+hww-1231+2(2-1)+2(3-2)+2(w-wT)=2w-12w,证毕.例2、已知ar=n,求证：V3.0a1“!kftn1证明：Z2T=-7=I+I&尤公尿&(A-I)A(A+1)1X(A-I)(A+1)(A+1A-I)=1(A-I)3+1)=1+1+f2+T3-本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.