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1、5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时周期性与奇偶性课标要求素养要求1 .了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2 .会求正弦函数y=sinx、余弦函数y=COSX的周期.3 .掌握函数y=sinx,y=cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.利用y=sinx,V=COSx的图象，探索y=sinx9y=cosX的周期性、奇偶性，重点提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象素养.课前预习知识探究自主梳理1.周期函数条件对于函数/（x）,存在一个非零常数7Y0）当X取定义域内的每一个值时，都有/U+D=危）结论函数./（X）叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2.最小正周期条件如果周
2、期函数段）的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做小）的最小正周期周期函数的周期不唯一.若7是函数於）的最小正周期，则kT（kGZ,左WO）也是函数於）的周期.（2）并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如r）=C（C为常数，xR）,所有的非零实数7都是它的周期，而最小的正数是不存在的，故常数函数没有最小正周期.3.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y=sinxy=cosx周期2E（左Z且左WO）2E（左Z且上#0）最小正周期22奇偶性奇函数偶函数自主检验1 .思考辨析，判断正误(1)周期函数y=(x)的定义域可以为口，0(4,bR).(X)提示周期函数的定义域一定为无限集，且无
3、上下界.(2)函数y(x)=sin2x是奇函数.(J)(3)函数./)=sin(2x+，|是偶函数.(J)(4)y=SinX与歹=COSX既是中心对称图形又是轴对称图形.(J)2 .(多选题)下列函数中是周期为2的偶函数的是()A.y=sinxB.y=cosxC.y=sing+习D.y=cos+xj答案BC解析由于y=cosg+J=-sinx,所以A,D中的函数都是奇函数;y=sin(x+?=COSX符合题意，故选BC.3 .函数儿:)=NinM是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数答案B解析於)的定义域为R，且火-X)=Nin(-x)I=1SinM=I
4、SinX1=Ta),所以危)是偶函数.4.函数(x)=sin(2x)的最小正周期是.答案解析由/(x+)=sin2+)=sin(2x+27i)=sin(2x)=y)得/(x)的最小正周期为.题型剖析课堂互动题型一三角函数的周期【例1】求下列函数的周期:(1=2sin&+,xR;(2=1-2cos&),XWR；(3)y=sinx,xR.解.2sin?(x+4)自变量X只要并且至少要增加到x+4,函数y=2sin(%+5),XER的值才能重复出现，函数y=2sin&+,xR的周期是4兀.(2)V12cos(x+4)=1-2COS&+2，=12COSg:),自变量X只需并且至少要增加到x+4,函数y
5、=12COSg可，xR的值才能重复出现，工函数y=12cos停，xR的周期是4.(3)作图如下：-2宣-itOR2X观察图象可知最小正周期为J1.思维升华求三角函数周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.3是常数，4z0,(2)公式法，对形如y=4sin(s+8)或y=4cos(ftx+0)(4,2yrWO)的函数，r=rf(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.【训练1】求下列函数的最小正周期：(1=sin(3x司；(2)y=cos(zr+矶解.sij3(x+争)+全=Sij(3%+J+2=Sin(3x+.自变量X只要并且至少要增加到x+专，函数y=sin(3x+,xR的值才能重
6、复出现，函数y=sin(3x+,),xR的周期是专.(2),函数y=cos(2x+1)的最小正周期为,而函数丁=|85(2%+5)|的图象是将函数y=cos,x+2的图象在X轴下方的部分对折到X轴上方，并且保留在X轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为7=宗题型二三角函数的奇偶性【例2】判断下列函数的奇偶性:(1阿=sin(一$+5(2y(x)=1g(1-sinx)-1g(1+sinx)；解(1)显然XGR,(x)=cos2,火一x)=cos(-gx)=COS5=(x),.J(x)是偶函数.f1sinx0,(2)*11+sinx0得一x1.解得定义域为*XR且X4+左zj.危)的定
7、义域关于原点对称.又,*(x)=1g(1sinx)-1g(1+sinx):K-)=1g1sin(-)1g1+sin(x)=1g(1sinx)1g(1sinx)=/(x).)为奇函数.(3)V1sinxO,sinx-1,.xR且XH2E一看左Z.定义域不关于原点对称，.该函数是非奇非偶函数.思维升华判断函数奇偶性的两个关键点(1)看函数的定义域是否关于原点对称；(2)看大一工)与.危)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.【训练2判断下列函数的奇偶性：(1)(x)=sinxcosx；(2)(x)=1-cosxcos-1.解(1)函数的定义域为R,又大-x)=
8、sin(-x)|+cos(x)=ISinxcosx=J(x)9所以)是偶函数.(2)由1cosx20且cosx120,得COSX=1,从而x=2E,kGZ,此时/(X)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.题型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用【例3】(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是兀的函数是()A.y=cos2xB.ey=sinx.何、小兀-、C.y=snj+2xID.y=cos1y_2xI(2)定义在R上的函数段)既是偶函数，又是周期函数，若加)的最小正周期为,且当x0,时，y(x)=sinx,则宿等于()A.B，2C.-4D坐答案(I)D(2)D解析(IW=CoS12x是偶函数，
9、y=kinx是偶函数，y=sin住+2)=cos2x是偶函数，y=cos作-20=sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期7=兀【迁移1】若将例3(2)题中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？【迁移2】若将例3(2)题条件不变，求产警)+产甥的值.解借)=673+*周=遍=坐产*1473无+期=7停)=7(甘)=周=SinA坐所以竽H竽=乎+乎=有思维升华当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.【训练3】设外)是周期为2的奇函数，当OVXV1时，段)=SinX+x,贝IJIVXV2时，=.答案sin(-2)+-2解析当1
10、r2时，一2V-XV-1,贝02x1,因为当0xO,xR)的周期T=.co2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看/(一x)与/(x)的关系，从而判断奇偶性.-分层训练-素养提升I基础达标I一、选择题1 .下列函数中，周期为2兀的是()Ay=SinjB.y=sn2xXC.y=Sin,D.j=sin2x答案C解析y=sin5的周期为T=W=4兀;y=sin2x的周期为T=y=;y=sin的2周期为=2;y=sin2x的周期为T=52 .(多选题)下列关于X的函数(x)=sin(x+3)的说法正确的是()
11、A.对任意的9,於)都是非奇非偶函数B.存在的使兀O是偶函数C.存在Q使/)是奇函数D.对任意的Q加)都不是偶函数答案BC解析当3=0时，.危)=SinX是奇函数，故A错误，C正确；当O=，时，.危)=COSX是偶函数，D错误，B正确，故选BC.3 .设函数./(x)R)满足h一x)=(x),x+2)=x),则函数y=(x)的图象可能是答案B解析由y(x)=/a),则外)是偶函数，图象关于y轴对称.由於+2)=/)，则的周期为2,故选B.4 .定义在R上的函数/(x)周期为,且是奇函数，乂1=1,则启的值为()A.1B.-1C.0D.23cosx,一彳x0,5 .设.危)是定义域为R,最小正周
12、期为号的函数，若外)=2则,sinx,Ox,答案B解析一号)=泮X(T)+用=7停)=sin竽=坐二、填空题6 .函数.危)是周期函数，10是兀O的一个周期，且火2)=1则火22)=.答案2解析y(22)=22-20)=2)=2.7 .已知函数於)=sin(Gx+W+3，0,(-,兀)为奇函数，则=.答案一生或，JT解析由题意知+e=而，z,T1即3=-+E,ZrZ.g(-兀,),.JT：当k=O时,0=一1当=1时，3=牛.TtX8 .设函数./)=sinJ,则./0)+./(2)+./(3)+-+./(100)=.答案坐解析函数(x)=sin号的最小正周期T=6.3小_2_.一八八_.题_
13、近、X1)sin2，.42)Sm293)Sm-O,(4)sin3?，.氏5)S7=Siny=-,6)=sin2=0,故1)+火2)+火3)+100)=16欣1)+火2)+(6)+1)+2)+3)+4)=160+-+y+0-=三、解答题9 .判断下列函数的奇偶性.(313(1)x)=sn+yJ;(2)(x)=xcosX.(33兀、3解(1(x)的定义域是R,且於)=sin(ax+引=一cosx,所以4-x)=(x),则/(x)是偶函数.(2)(x)的定义域是R,又(-)=(-x)cos(-)=-XCoSX=一/)，所以危)是奇函数.TE10 .已知儿:)是以为周期的偶函数，且x,2时，Xx)=I-Sin%,求当x,3时,/)的解析式.解xe,3兀时，3-x0,5,Tt.0,2时，Xx)=1sinx,/.3-x)=1sin
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