第二课时 基本不等式的应用.docx

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1、第二课时基本不等式的应用课标要求素养要求1 .进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.2 .能够利用基本不等式解决实际问题.通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.课前预习知识探究自主梳理基本不等式与最大(小)值两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(1)已知X,y都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当三1时，积中有最大(2)己知x,y都是正数，如果积9等于定值P,那么当三1时，和x+y有最小值2亚.。点暗(1)利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.一正

2、：各项必须为正.二定：各项之和或各项之积为定值.三相等：必须验证取等号时条件是否具备.(2)应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换.自主检验1 .思考辨析，判断正误(1)对于实数a,b,若+b为定值，则4月有最大值.(X)提示a,b为正实数.(2)对于实数mb,若裙为定值,则+b有最小值.(X)提示a,b为正实数.(3)若x2,贝的最小值为2.(X)提示当且仅当x=1时才能取得最小值，但x2.2 .(多选题)下列不等式正确的是()A.a+2B.a2+2aaC11aI一/一2D.t?+*2答案BC解析当QVO时，。+%2,故选项A错误

3、；由基本不等式公+点22成立，故选项B正确；由一Ia1一不-2得+标2,由基本不等式知同+看22成立,故选项C正确；当QVO时，a3+j-2,故选项D错误.故选BC.3 .已知正数a,b满足ab=10则a-b的最小值是.答案2T解析a+Z2=210,当且仅当。=6=加时等号成立.4 .已知相，R,w2w2=100,则7的最大值是.答案50/W22解析由，+222小，w3=50.当且仅当加=5啦时等号成立.课堂互动题型剖析题型一基本不等式的简单应用4【例1】(1)已知1x2,求x+不行的最小值；22(2)已知:+=1(x0,y0),求x+y的最小值.y44解(1)Vx2,.-20,Ax+-=-2

4、+-+2x2x22yj(12)f+2=6,当且仅当-2=f,即x=4时，等号成立.x24.”十三的最小值为6.(2)V0,yo,+y=+y)停+J)=4+2(+盟4+4=8.当且仅岑=台即x=y=4时取等号，x+y的最小值为8.思维升华利用基本不等式求最值的策略旦X各数均为正I/探求条件与)一(和或积为定值)()g(等号能否成立)利用不等式的性质转化)【训练1】若x0,yO,且2x+8y=孙，求x+y的最小值.解(1)因为XV0,所以T+3x=()+(3x)-(3x)=-12,当且仅当一苫=3x,12即X=-2时等号成立，所以?+3X的最大值为-12.(2)法一由2x+Sy-xy=0t得MX1

5、8)=2x.2xVx0,y0,.-80,y7,X-o2x1(2-16)+16.xy=x+=x+-/X8X8=(-8)+-+102/(-8)-+10=18.Xo1Xo当且仅当x-8=6-8即X=12时，等号成立.x+y的最小值是18.Q2法二由2x+8y=孙及x0,JA0,得一+-=1.y+y=(+y)g+1=攵+红+10221/配空+10=18.XyXy当且仅当，=,y即x=2y=12时等号成立.,x+y的最小值是18.题型二基本不等式的实际应用【例2】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园488,公园由长方形A向CQ1的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成.已知休闲区AiBiCiD

6、i的面积为4OOO平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图所示）.（1）若设休闲区的长和宽的比瑞=Xa1）,求公园彳BCO所占面积y关于X的函数的解析式；（2）要使公园所占面积最小，则休闲区囱的长和宽该如何设计？解（1）设休闲区的宽为。米，则长为Or米，由q2=4000,得Q=则y=(4+8)(0r+20)=a2x+(8x+20)a+1605760.当且仅当2/=左，即x=2.5时，等号成立，此时=40,OX=I00.所以要使公园所占面积最小，休闲区力山口应设计为长100米，宽40米.思维升华利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学

7、知识（函数及不等式性质等）解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.【训练2】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(注：1+2+3+x=*W1)解设该厂每X天购买一次面粉，其购买量为6x吨.由题意可知，面粉

8、的保管等其他费用为3X6x+6(-1)+6(-2)61=9x(x+1).设平均每天所支付的总费用为V元，贝Uyi=59x(x+1)+900+61800=9x+等+1080929+10809=10989(%),当且仅当9x=誓，即X=IO时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.题型三基本不等式的灵活应用角度11”的代换、消元、构造定值法求最值1Q【例3一1】己知x0,y0且二十1=1,则x+y的最小值为.y答案16解析法一(1的代换)1Q因为1+,=1，所以+N=(+y)g+攀因为x0,y09当且仅当即y=3x1QX+=1，解可得x=4,y=12.所以当x=

9、4,=12时，x+y的最小值是16.1OV法二(消元法)由:+=1,得X=一.xyy9因为x0,yOt所以y9.yy9+99所以+y=+y=y+yy_9=yj+1=989)+不+1O因为歹9,所以y90,所以89)+正历227(歹一9)正W=69当且仅当y-9=口，即y=12时，取“=，此时x=4,所以当x=4,歹=12时，x+y的最小值是16.1Q法三(构造定值)因为xO,yO,且i+,=1,所以x1,y9.19由一+-=1,得y+9x=孙=盯_%_、+9_9=0=(工1)(y-9)=9(定值).y所以x+y=(-1)+(y-9)+102(-1)(y-9)+10=2X3+10=16.当且仅当

10、x1=y9=3,即x=4,歹=12时取等号，所以x+y的最小值是16.角度2配凑代换求最值41【例32】已知正数X,y满足x+y=1,则一百十h的最小值为.x-t-2y-r19-4即有+2)+(y+1)=4,411f4t1A则定+干中+2)+e+i)1E+币J1一x+214(y+1)1J-x+24(”15415+y+25+2Vy+Tx+22O当且仅当x=2y=时，取得最小值了角度3利用基本不等式解决恒成立问题【例33】已知AO,b0,若不等式孑温恒成立，则机的最大值等于()A.10B.9C.8D.7答案BG1解析因为00,所以2+6X),所以要使；;+了2；士恒成立，只需机(2ab2a-rb+

11、6)弓+力恒成立，而Q+b)g+W=4+系+125+4=9,当且仅当a=b时，等号成立，所以wW9.思维升华利用基本不等式求条件最值的常用方法(IyT的代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含力”的式子，将“1”代入后再利用基本不等式求最值.(2)构造法：构造不等式：利用MWg并,将式子转化为含/或a+b的不等式，将ah,(4+b)作为整体解出范围：构造定值：结合已知条件对要求的代数式变形，构造出和或积的定值，再利用基本不等式求最值.(3)函数法：若利用基本不等式时等号取不到，则无法利用基本不等式求最值，则可将要求的式子看成一个函数求最值.【训练3】(1)已知2+b=1,a0,bX),则：+

12、作的最小值是()A.22B.3-22C3+22D.3+2(2)己知a,b,。都是正数，且+2b+c=1,贝心+/+:的最小值是()A.3+22B.3-22C.6-42D.6+42求X(W7x)(Oq=啦-1时，等号成立的最小值是3+2隹+c=+1+a+2z,+c)2bCC26=4-+一aabbcc2+2J+2JH+24|=6+4/,当且仅当勺哼*，月d时，等号成立，即2=c2=2时,等号成立.(3)解,/0x0,m-x0./_y(+m-y12机2x(n2J4ff1加2当且仅当X=W-X时，即X=时，X(mx)(0VXVm)取最大值彳.课堂小结1 .利用基本不等式求最值，必须按照“一正、二定、三

13、相等”的条件进行，若具备这些条件，则可直接运用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当变形.2 .利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和待求的式子，运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积.其中通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，常见的变形方法有拆、并、配.(1)拆裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创设条件.(2)并分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先由一组应用基本不等式,再组与组之间应用基本不等式得出最值.(3)配配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后的和式中各部分相乘后为定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.注意基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到；分式形函数及含有两个变量的函数或代数式，适合用基本不等式求最值.-分层训练，素养提升I基础达标I一、选择题.y(3a)(a+6)(6WW3)的最大值为()9A.9C.