解三角形知识点复习.docx

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1、解三角形一，基础知识1,相关三角函数公式(1)两角和及差的正弦，余弦，正切公式sin(/?)=SinaCoS夕cosasincos(1)=CoSaCOS/干SinaSintan(0p)JantanA1tanatan(2)二倍角的正弦，余弦，正切公式sin%=2sinacosacos2=cos2a-sin2a=2cos2a-=1-2sin2a(3)降次公式.21-cos2a21+cos2aS1Ira=,cosa=22(4)协助角公式4sin+Z?COSa=Ja2si(+Q)4. .a.bb其中cos-/,sme=f,tan=-a2+Z?2a2+b2a2,三角形相关定理，公式(1)正弦定理念=扁=

2、G=2R(2R为三角形外接圆的直径)变形:a:b:C=SinA:SinB:SinC “=2RsinAb=2RsinBc=2RsinCSinA=费SinB=去SinC=短(2)余弦定理T=b2c22bccosAb2=t72c22accosBc2=2b22bcosC变形:b?+c2t2=2bccosA2c2b2=2ccosBiz2b2c2=2izbcosCb2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2COSA=FCosB=温一COSC=?ab sin?A=sin2B+sin2C2sinBsinCcosA(正余弦定理相结合)(3)面积公式S=JabsinC=:bcsinA=%csinB=(A6|)

3、2(A6)2(4)内角和定理随意两角和及第三个角总互补，随意两半角和及第三个角的半角总互余.CA+BA+C.=.n.C=K-A+WmSin(A+)=sinC,cos(A+B)=cosC,sin-=COSE锐角三角形O最大角是锐角O三内角都是锐角。三内角的余弦值为正值O任两角和都是钝角O一角正弦大于另一角的余弦(SinCcosA)O随意两边的平方和大于第三边的平方.(5)其他定理两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；大边对大角,小边对小角(6)两个常用结论AB是sinAsinB的充要条件；若sin2A=sin2B,RJA=B或A+B=二，基本方法1,解三角形条件解法已知两角一边，如A,B,a用

4、正弦定理，求得儿己知两边和其中一边的对角，如,b,A方法一：用正弦定理，求得SinB,若SinB1则无解，若SinB=I则一解，若sin31则可能有两解，一解，要结合大边对大角定理进行推断，假如B是大角则有两解，否则一解.方法二：用余弦定理=从+2-2cos4,求得C.已知两边和其夹角，如,b,C用余弦定理/=2+一27bosc,求得C,再用余弦定理求出另外两角.已知三边，如,b,c用余弦定理，求得A,同理求得B,C.2,三角形综合问题的解法(1)突破口是边角关系的分析，正余弦定理都能实现边角关系的互化，但边化角往往用正弦定理，角化边往往用余弦定理。(2)问题中若涉及面积问题，首先选择面积公式

5、，弄清条件或须要求的几个量，选择公式时往往以已知角为主。(3)若三角形中有一个角已经确定，如A,由此可知B+C,用此可消去一个角，也可以结合余弦定理得a2=b2-C2-乃CoSA,转化为边的关系。(4)若三角形中有两个角已经确定，如A,B,则可以确定另一角C,从而可以选择正弦定理结合条件求解。(5)在三角形内进行三角恒等变形时，往往遇见sin8cosC+cos5sinC这类式子，要将其转化为Sin(B+C),当化简到肯定程度不能化简却又得不到所求时，肯定要用内角和定理消角后再变形，如sin(8+C)=sinA.(6)题目条件不足，无法求解时，要主动结合正余弦定理，挖掘出隐含条件后再求解，如求得

6、C后，可结合正弦定理，形成方程组求解。三，典型例题1, (2010年高考广东卷理科11)已知a,b,c分别是AABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=J,A+C=2B,则sinC=I2, (2010年高考湖北卷理科3)在aABC中，a=15,b=10,ZA=60,贝IJCoS8=().rB.C-D.333, (2010年高考天津卷理科7)在aABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,a2-b2=f3bc,sinC=2手sinB,则A=()A,30oB,60oC,120oD,1504, (辽宁)ZA8C的三个内角4,B,C所对的边分别为,b,c,asinAsinB+Z?cos2A

7、=y2a,则2=()aA.23B.22C.3D.25,(四川)在AABC中.sin?Vsin?8+si2c-sin8sinC.则A的取值范围是()(A)(0,乡(B)乡，乃)(c)(0,二(D)J,)66336,(湖南).在AABC中，角48C所对的边长分别为a,c.若NC=12(T,c=y2a,D.a及b的大小关系不能确定B.ab7, （2010年宁夏卷16）在AABC中，D为边BC上一点，BD=-DC,ZADB=120,2AD=2,若AADC的面积为3-J1则NBAC=8, （2010年高考江苏卷试题13）在锐角三角形ABC,A,B,C的对边分别为“b,c,则=。9,（天津）如图，在AAB

8、C中，。是边AC上的点，且AB=CD,2AB=6bD,BC=2BD,则Sine的值为（）bDCa3366363610,(全国课标)在44BC中，=60,AC=3,则48+23C的最大值为。2711,在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求的值；(2)若CoSB=1,匕=2,求AA3C的面积.412,VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知+c=J%,AC=90,求C.13,在V43C中，角A,5,C的对边分别是,c,己知sinC+coSC=I-SinC.来求2SinC的值；若/+=4(+b)-8,求边C的值.14,（江苏）在AABC中，角A,B,C所对应的边为。,4C（1）若求A的值；（2）若,求SinC的值.15,在A3C中，角A,B,C的对边分别为凡b,c,且M一（一，）2=（2一君）衣，,3C边上中线AM的长为J7.16,设AABC的内角A,B,。的对边长分别为明b,c,b2=ac,求3。17,在AABC中，内角A,B,C的对边长分别为，b,c,已知/一/=2。，且sinAcosC=3cossinC,求b18,在aABC中，内角AB。对边的边长分别是b,c,己知c=2,.(I)若AABC的面积等于J1求,b；(II)若SinC+sin(B-A)=2sin2A,求AABC的面积.