高数上册知识点.docx

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1、高等数学上册知识点一、函数及极限(一)函数1、函数定义及性质(有界性，单调性，奇偶性，周期性)；2、反函数，复合函数，函数的运算；3、初等函数：卷函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数，双曲函数，反双曲函数；4、函数的连续性及间断点；函数f(%)在Xo连续八./()XfXo第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点，跳动间断点、第二类：左右极限，至少有一个不存在.无穷间断点，振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性及最大值最小值定理，零点定理，介值定理及其推论.(二)极限1、 定义1) 数列极限IirnX=oVe0,3NN,N,氏-c0,30,Vx,当0,一式()|5时,(x)-A(

2、x),其中A及Av无关.2)可微及可导的关系：可微O可导，且办=FC)A=C)公三、微分中值定理及导数的应用(-)中值定理1、RoIIe定理：若函数/(%)满意：1) /(x)C,Z?;2)f(x)eD(a,b);3)/()=/(0)；则mg(Q),使fC)=0.2、1agrange中值定理：若函数,f(x)满意：1)/(x)Ca,Z?;2)f(x)eD(a,b);则(a,b使fS)-f(a)=ff()(b-a).3、CaUChy中值定理：若函数/(幻,尸(元)满意：1)/(x),F(x)C,52)/(x),尸(X)0(。,。)；3)b(x)O,x(,b)则*0使凡S=毕1jF(b)-F(a)

3、Ff()（二）洛必达法则注意：1、尽量先化简（有理化、无穷小代换、分离非零因子）再用洛必达者则！1-X2-COSX如：Iim5tanX2、对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限,然后用洛必达法则！r函+物丫如：m-n/3、洛必达法则是一种很有效的方法，但不是万能的！1imIs（）Xf+O0X21Xcos如：Iim-sinX（三）Tay1or公式阶Tay1or公式：U)=()+()U-)(-)2+J在玉）及X之间.当二时，成为阶麦克劳林公式:/(0)/工工)(o)YJrEC)Jv十十Jy十2!n5+1)!(-1)()(1+yI向面面尤在O及1之间，-1VXV1.（四）单调性及极值1、单调性判

4、别法：/(%)Ca,b,/(x)DgM,则若r(x)O,则/(x)单调增加;则若r）vo,则/（%）单调削减.2、极值及其判定定理:a)必要条件：/(%)在可导，若/为的极值点，则尸(Xo)=0.b)第一充分条件：/(%)在的邻域内可导，且尸(XO)=0,则若当x0,当x时，f,M0,则与为极大值点；若当XXo时，/(X)%o时，/。)0,则%为微小值点；若在飞的两侧/(X)不变号，则与不是极值点.C)第二充分条件：/(X)在/处二阶可导，且r()=o,(),则若/C)O,则%为微小值点.3、凹凸性及其推断，拐点D/(X)在区间/上连续，若M,%c,.-y)()则称f()在区间/上的图形是凸的

5、.2)判定定理：在凡加上连续，在(4,。)上有一阶，二阶导数，则a)若DXW(,力J(x)0,则/(%)在句上的图形是凹的；b)若DXWmS),(x)+ooJaf(x)dx=Iimf(x)dxJIf-CoJt+or+f(x)dx=J(X)dx+jf(x)dx2、 瑕积分：CbaIf(x)dx=IimIf(x)dx(Q为瑕点)JataJtCf(x)dx=Iimf(x)dx(力为瑕点)JatbJa两个重要的反常积分：+8,p1PTFCk_dx2)1(无-d)qJaS-)cSi)ji-q+,q41(-)平面图形的面积X(二)体积六、定积分的应用1、旋转体体积：a)曲边梯形y=/(%),X=,x=Z?

6、,X轴，绕X轴旋转而成的旋转体的体积:yx=Jw2(工)公b)曲边梯形y=/(x),X=a,x=Z?,X轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积:匕=J：2W(X)(柱壳法)a2、平行截面面积已知的立体：V=JA(x)dx(三)弧长1、直角坐标：S=jJ1+1()24%2、参数方程：S=2+k2dt3、极坐标：S=白夕(夕)2+2四七、微分方程(一)概念1、微分方程：表示未知函数，未知函数的导数及自变量之间关系的方程.阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有随意的常数，且常数的个数及微分方程的阶数相同.特解：确定了通解中的随意常数后得到

7、的解.(二)变量可分别的方程g(y)dy=f(x)dx9两边积分g(y)dy=J/(XMr(三)齐次型方程,设，则；或，设，则（四）一阶线性微分方程田青却亦同出/阳、点y=ef/（AR/AfQ（）e（x）dxdx+C用常数变易法或用公式：,J匕（五）可降阶的高阶微分方程1, y=（）,两边积分次；2, y”=（%,y）（不显含有y）,令y=p,则y=p;3, =（yr）（不显含有1）,令y=p,则（六）线性微分方程解的结构1,%，为是齐次线性方程的解，则GM+G%也是；2,必，必是齐次线性方程的线性无关的特解，则GM+。2%是方程的通解；3,丁=。|必+。2%+丁*为非齐次方程的通解，其中必，必为对应齐次方程的线性无关的解，y*非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：yff+pyf+qy=O特征方程：/+pr+=o,特征根：八，弓特征根通解实根y=Cex+C2ex4=G=I=(C1+C2x)Z1Jr2=aiy=eax(C1cos/?x+C2sinBX)（八）常系数非齐次线性微分