结构力学虚功原理最小势能原理解题示例.docx

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1、个人收集整理资料，仅供交流学习，勿作商业用途最小势能原理、虚功原理解题示例最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。例2.1如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A,弹性模量均为E,在节点1处作用水平集中力P,试用最小势能原理求各杆的内力。b5E2RGbCAP图2.1解：令在外力作用下，节点1在X向的位移为%,在y向的位移为人。则有：杆号杆长杆变形1-22.5aurcosa-uvsina=0.6-0.8mv1-32.236a0.447mx-0.894mv1-42.236a-0.447X-0.894Y杆应变能的表

2、达式为:则系统的总势能为:=Ui-Puxp/x74z=(0.6-0.8wv)+(o.447w-0.894wv)22.50X2x2.236。)FA,2+(-0.447m-0.894z.)-Pux2X2.2361-7X=(0.16ImJ-0.192My+0.486；)-Pux由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有:en八an八=0;=0du、uvy即:p.、(0.323v-0.192v)-P=0p.、-(-0.192Wv+0.972Wv)=0解得:3.5IPtfEA0.694PaEAN=曳A1杆的内力可由公式：1求得，故各杆的内力为:Ny=0.62尸Nf=0425P2V1-4=-0.97

3、9P例2.2如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q,试用最小势能原理求其挠度曲线。图2.2解：令梁的挠度函数为矶H,它必须满足以下几个条件：1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件;2、由于有均布载荷q的作用，故W）应为X的4次多项式。故，考虑到梁左侧为固支，可设：梁右侧需满足：W）II=O且梁右侧没承受弯矩，有：d%（x）=na力的边界条件）dx2代入边界条件，有:等截面梁的弯曲应变能表达式为：2J【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面仍保持为平面,它一方面有挠度0（、）,一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度公，由于该转角的存在，使得距离中性轴为y处的X方向的位

4、移dd2w=-yr=-V-为小，应变改，弯曲应力为cd2一五7,因此，等截面梁的弯曲应变能为:U=般4/=IE2xdV=d2dx2,d2dxr2IdxP1EanqFDPw则系统的总势能为:=JOd2(xdx22由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有:又:=J,R=Od2x)加9.6q1dx1x)dx-qx)x)dxa1q19.6EJ所以:0.6x2-+9.6EJ(1MX)=虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。DXDiTa9E3d例2.3试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。解：令在外载荷P作用下，

5、梁的转角为则各杆的变形为:11=1a12=2Zzz3=31a给梁施加一个虚位移：Ba则外力虚功为：7W=-P1a2虚应变能为：FAFAFA=-11Za+-12(21Za)+-13(31fe)=EAZZr(I+2x2+3x3)私=14EA1aKa由虚功原理，有：脚=可，即：7PP1a-4EA1aa=a=24EA故梁的位移为：图2.4【虚功原理的其它例题可参见理论力学静力学)第四章第7节】例2.2若用虚功原理求解，其步骤如下：解：令梁的挠度函数为0(),它必须满足以下几个条件：1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；2、由于有均布载荷q的作用，故W)应为X的4次多项式。故，考

6、虑到梁左侧为固支，可设：梁右侧需满足:MX)I1=O且梁右侧没承受弯矩，有:d2x)代入边界条件，有:等截面梁的弯曲应变能表达式为:x)=a10.6x2-+0.4-给梁施加一个虚位移：I11则其外力虚功为：虚应变能为：比=呼K(X)公Jodx2C1x1由虚功原理，有：脚二可，即:J：EJx)dx=qxx)dxvA小).6/-AO.4卜心=q10.6x2-+axdx由于虚位移是任意的，故：9.6EJa1=q1=a.=c1-,19.6EJ所以：【由此可以看出，虚位移原理和最小势能原理是一致的，都是从能量的角度来阐述超静定结构在平衡状态所需满足的条件，即用能量方程来替代变形协调条件。在做题时，个人觉得最小势能原理具有更好的操作性。】RTCrpUDGiT申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。