第3节利用导数研究函数的极值最值(1).docx

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1、第3节利用导数研究函数的极值、最值【知识衍化体验】知识梳理1. (i)ro,(2)都大/ofO;当Aw(1,e时，f(x)O,XX所以当=1时，F(x)取得最大值In11=-1故选B.4 .B解析y=e+m,则e*+m=O必有根，m=exO.5 .(平,+8)解析：，(X)=3V3,=3(x+a)(xa),由f(X)=O得*=a,当一axa时，Fa或水一a时，f,(x)0,函数F(X)单调递增，.F(x)的极大值为f(-a),极小值为f(a).F(a)=-a+3a+a0且F(a)=J3a、+水0,解得给乎.,a的取值范围是Gg,+8)【考点聚焦突破】【例1-1】C解析由图象可知/(I)=F(1

2、)=0,A说法正确.当K1时，/Jf,X0;当一10,此时f(x)0,故当X=-I时，函数F(X)Xf,XfX取得极大值，B说法正确.当OG1时,1时,0,XX此时FU)0,故当x=1时，函数F(X)取得极小值，D说法正确.故选C.【例1-2】【解析】(1)f(x)=6ax-6x=6x(ax1).因为a0且x0.所以函数f(x)在区间(-8,0)上是增函数.(2)由题意g()=2ax+(6a-3)2-12x,则g(x)=6(x+2)(ax-1).令g(x)=0,得x=-2或x=1(a0),当x0,则a函数g(x)在区间(一8,一2)上是单调递增函数；当一2VXV1时，g，(x)0,则函数g(x

3、)在区间+8)上是单调递增函数；所以，函数g(x)的极小值点为X=1故函数晨x)的极小值是晨x)及小法=a166a+1E=一/一一f,1=0,【例1-3】D解析f,=-2a-bt依题意，有即If1=10,3-2a-b=0ta=-4,f1-a-b+才=10,解得=11,&=3,或当a=3且6=3时，/U)=3x(Z?=-3.-6叶32。，函数4)无极值点，故符合题意的只有二故选D.(2)a1解析F(*)的定义域为(0,),f(x)=-a-b,由，(1)=0,得bXrz.1,-ax-+1+a-X-ax+1-1X-X上_-.=1-a,.f(x)=ax+a-1=.若a0,当XXX00,f(x)单调递增

4、；当时，f,=一2因为X=I是F(X)的极大值a点，所以一41,解得一ka-a【训练1】(I)D解析由图可得函数y=(1-*)F(X)的零点为-2,1,2,则当*0,此时在(一8,2)上6(z)0,在(一2,1)上fUX0；当x1时，1一/0,此时在(1,2)上尸0.所以/U)在(-8,2)上为增函数，在(一2,2)上为减函数，在(2,+8)上为增函数，因此f()有极大值-2),极小值f(2).故选D.D(2) A【解析】6=3-3=3(x+1)-1),显然当求一1或x1时，f(x)0,当1水1时，f,(x)0,，-1是极大值点，1是极小值点，于是有F(I)=13+加=1,m=1,从而八-1)

5、=-1+3+1=3,即极大值为3.(3) -2,1)解析：由/()=-1,知FJ)在(-8,1)上单调递减，在上单调递增，在(1,+8)上单调递减，故函数F(X)在(a,103)上存在最大值的条件为1,其中F(1)2f(a),即为一；+12；成+小整理得一一34+220,即3i)S)1-3a+320,即(a-1)(，+a+1)-3(a-1)20,即Q一1)(才+2)20,即(D?(4+a1,解得一2Wa1(-1)2(+2)0【例2】【解析】(1)求导，得/=+2ar+6,因为函数/V)在区间(1,1)上单调递增，在区间(1,3)上单调递减，所以6(D=I+2a+6=0.又因为=-2,所以。=3

6、,验证知其符合题意.(2)由(1)得1+2a+6=0,即2a=一。-1所以F(才)+bx,f(x)=XO乙(7?+1)犬+/?=(*6)51),当b0.此时，函数F(X)在(1,+8)上单调递增，这与题意不符.当力1时，随着X的变化，f,(x)与F(X)的变化情况如下表：X(-8,D1(1,垃b(b,+)f(+OO+f()/极大值极小值/所以函数f(x)在(-8,1),3,+8)上单调递增，在(1,6)上单调递减.由题意，得力23.所以当624时，函数F(X)在1,4上的最小值为1(4)=彳一48；13当3W6V4时，函数F(X)在1,4上的最小值为Fs)=(6+3反4012综上，当624时，

7、函数F(X)在1,4上的最小值为一；*5当3Z0),当aWO时，F(X)=I-a0,即函数f(x)的单XX调增区间为(O,+o).当a0时，令f(x)=-a=0,可得x=2当00；x当叫时，f5=丁。，故函数4)的单调递增区间为(。，单调递减区间为当M，即启1时,函数4)在区间口上是减函数，.4)的最小值是f(2)=In2-2a当即。舄时,函数4)在区间1,2上是增函数，Mx)的最小值是/W=r.当1*2,畛水1时,函数力在1，上是增函数,在”上是减函数.又2)-(1)=1n2a,当水In2时，最小值是f(1)=ai当In2a1时，最小值为f(2)=1n2-2a综上可知，当0水In2时，函数F

8、(JO的最小值是一a；当a21n2时，函数F(X)的最小值是In2-2a_2OV-I-IP*1【例3】解f(X)=方2.因为X=F是函数y=U)的一个极值点，所以Ff)=0,因此:aa+1=O,解得a=*经检验，当a=g时，*=是y=F(x)的一个极值4点，故所求a的值为三.O(*r+1卜13(2)由(1)可知，f(X)=-7广，令ft(X)=0,得由=,在=I13J2当。2g时，F(X)在6,+8)上单调递增，PbQp6所以f(x)在，+8)上的最小值为f(b)=母=肃必【训练3】解因为4)=1nx+M”,所以4)的定义域为(。，+8)/J)W+2a*+6,因为函数f(x)=Inx+af+b

9、x在*=1处取得极值，所以ft(1)=1+2a+6=0,又a=1,所以力=-3,则/(X)=2x23x+1令Fr(X)=0,得Xi=；,X2=I.f(才)，F(x)随X的变化情况如下表:rX0,J1Tka)1(1,+oo)/()+0O+f(jc)增极大值减极小值增所以F(X)的单调递增区间为(0,0，(1，+8),单调递减区间为g,1)Oo1v-1(2)由(1)知r=:,令/(X)=O,得M=I,也=,因为F(X)X2a在x=1处取得极值，所以X2=Wx=1,当;0时，上=；0,当;1时，F(X)在(0,上单调递增，在1)上单调递减，1,e上单调递增，所以最大值可能在X=；或x=e处取得，而f=)=1n；+(2a+1)；=2aa)2aZaJ2aIn-KO,所以F(e)=1nc+a(?2(2a+1)e=1,解得a=7,当时，F(X)1a4ae_22a在区间(0,1)上单调递增，在1,上单调递减，在e上单调递增，所以最大值可能_a)1za_在X=I或x=e处取得，而F(I)=In1+a(2a+1)0,所以F(e)=Ine+ae?(2a+De=1,解得a=，与1x2=*e矛盾，当版=；/时，/U)在区间(0,1)上单调递增，在(1,e上单调递减，所以最大值可能在x=1处取得，而F(I)=In1+a-(2a+1)0,矛盾，综上所述，a=-I或a=-2.e2