第05讲 极值点偏移：平方型（解析版）.docx

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1、第05讲极值点偏移:平方型参考答案与试题解析一.解答题（共9小题）1) (2023广州一模)已知函数/(x)=xX-0+x(eR).(1)证明：曲线)，=/*)在点(1,f(1)处的切线/恒过定点；(2)若/(x)有两个零点不，x,且x22%,证明：Jx1（2023浙江开学）已知acR,/。）=小（其中e为自然对数的底数）.（I）求函数y=f（x）的单调区间;+Xj-e【解答】证明：(1)f,(x)=x1nx-ax2+x=1nx+-2ax+=1nx-2ax+2,广(1)=2-2,又/(1)=1-,.曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-(1-)=(2-2)(x-1),即y=2(1

2、-,当x=；时y=0,故直线/过定点(g,0)：)x1,是/O)的两个零点，且2%,Inxx+1_Inx21_In(X1X?)2_Iiix2-InX1=,X1X2X1+x2x2x(x1+x1n令，=三(2),/Jnr1X2+2=+I)1x2-x1/-1f21m构造函数g。)=喀，g)=jz，f1V-1)令人)=r-1-2加/,则)=四二2-0,则力(。在(2,七)上单调递增，tC1Q而(2)=2-2zz2=-220,(r)0,则g(Z)在(2,+oo)上单调递增,Q.g(t)g(2)=3bi2,可得比(XX,)+23/2,则/(不左)加r，e即XsX24，则yX+X2y2XX2.()若0,函数

3、y=(x)-a有两个零点X,x2,求证：+x12e.【解答】解：(Z),(x)=e-ttr-axe-t=e-r(1-ax),awR,.v时，ffW=ax(1-O=xar(x)=e(Is)VO=XV1a.v时，增区间为：1+oo),减区间为：(-co)；aa4=0时，r(x)=(I-G)=I0，.4=0时，增区间为：(YO,3)；Okj,f,(x)=e-ax(-ax)0=x-,af,(x)=eax(-ax)x-a.0时，增区间为：(-,1,减区间为：(1,+oo);aa综上：0时，增区间为：(-00，减区间为：d,+oo);aa(II)证法一：由(1)知，a0时，增区间为：(-00，减区间为：(

4、1oo);aa且xT时/(x),加大值()=/(!)=5,函数y=(x)的大致图像如下图所示：不妨设X1x2,则O玉即证：x1x2aa因为X1,所以2一天/(-2)aaaaa2又f(N)=/(W)，所以即证：f2)f(-2)x2-aa令函数F(X)=/(x)-/(2一),(1,+oo),aa9则Ff(x)=e-t(1-0r)+e-2+ax-a(-x)=(1-ae-ax-e-1+ax,a因为x1,所以一5Var2,I-OVV0,F,(x)=(1-ax)eax-e2+axO,a711函数尸(X)=f(x)-f(-x)在(一,+00)单调递增，所以/(x)F(-)=O,aaa1 o9因为/,所以，/

5、()/(X2)即h+/,aaa所以q+*2e.12a2(II)证法二：因为0时.,函数y=(x)-。有两个零点%,为，则两个零点必为正实数，/(X)一。=O=e1m-ax=e1m,(x0),问题等价于InX-奴=/m有两个正实数解：令g(x)=1nx-ax-1na(x0)则g，(X)=J-(xO),g(x)在(0,)单调递增，在(1+8)单调递减，且0v%-),aaI122贝UG,(x)=a+a=2a-2a=0,X2x(2-0r)1aa所以G(X)在(,+00)单调递增，G(x)Gd)=O,aaI2j又区一，故g(x,)g(-xj，X2(-,+00)aaa2又g(%)=g(f),所以g(x)g

6、(-X,)，aI2I乂0一2,所以豆2e.勺t2a23. (2023秋泉州月考)已知函数/(X)=蛆1.C1X(1)讨论的单调性;(2)若(e)*2=(ex2)*(e是自然对数的底数)，且%0,x,0,x1x2证明：x12+X222.【解答】解：(1)函数幻=生出(0),则/(X)=-空，axax令f(x)=O,解得x=1,若a0,当OVXV1时，ff(x)O,则/(x)单调递增；当x1时,f,(x)上单调递减；若av,当OVXVI时,(x)1时，/(X)0,则/(幻单调递增，所以/a)在(0,1)上单调递减，在(1,拓)上单调递增.综上所述，当0时，F(X)在(0,1)上甲遍递增，在(1,Z

7、)上单调递减；当v时，/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增.(2)证明：因为)&=(%)，两边取对数，可得引(咐)=W()，即Xy(JnX1+1)=x1(InXy+1),所以%+1=3+1,芭W此时当a=1时，存在且0,x2OXIWX2，满足)=/(9)；由(1)可知，当=1时，/(%)在(OJ)上单调递增,在(1,kq)上单调递减,不妨设X1VW,所以XG(O,1),x2(1,+),若/修，+oo),则；+%；.42成立；若w(1,2),则2-七e(O,1),i己g(x)=(x)/(2X)=妈+，Ovxv1,XX2-x2-x则g，)=_一必学一隼N=_也笆里1o,X(2

8、x)XXX所以g(x)在(OJ)上单调递增，则g(x)/(内)=/02)，因为X1e(O,1),所以2-1,又W1,f(x)在(1+oo)上单调递减,所以2-X12,又不?+1.2Jx1?.1=2x1x22+1.2yx=2x2,以上两式左右分别相加，可得X，+1+2+.2(X+x2),即X12+x22.2(x1+x2)-22,综合可得，xi2+2.4. (2023开封三模)己知函数/(X)=丝.nix(1)讨论F(X)的单调性;(2)若优=2,对于任意X与0，证明：5()-名/(工2)；+)中2-名.【解答】解：(1)/(X)=丝的定义域为(0,内)，r*)=上芈，IWCnc当m0时，/(x)

9、0=0vxv?,此时/(x)在(0,?)上单调递增，f(x),此时/(幻在(4+)上单调递减，当mv时，/(x)0=xM,此时/(x)在(,+8)上单调递增，f,(x)0x20,所以凡占一名0.设f=%1,故：(x；/(%)-C)(H+x7)xx,-XjO/叫-Inx2(*；”1)汇+不2(*1)n-0Int2?(r1)Int-?0(r1),Wj+(1+广1+广出令导则/一%1)0,+tT1+ht/(厂1)(广2z1)由于r1,故)=3；-t(t2+1)2则(t)=Int-2一?在(1,+)上.单调递增，1+F故叭f)(1)=0，即：所证不等式(M/(x1)-/(2)(xi2+考)X1X2-j

10、成立.5. (2023浙江模拟)函数/(x)=H+1.(1)若=1,求函数)，=/(2x1)在X=I处的切线;(2)若函数y=(x)有两个零点大,x2,且王工2,(i)求实数的取值范围;(ii)证明：考_/0yJ2a22(/7)证明：函数y=f(x)有两个零点x1x2，且z/，由极值点可得X+毛只需证*+2v1,即证2d),caaa即证o/d)，即证成立.aaa6. (2023春渝中区校级期中)已知函数/(x)=e-(x-1).(1)讨论函数/*)的单调性；(2)设41,W=/(%)+(x0),函数g(x)的唯一极小值点为X,点A*】，g(x)和B(X2，g2)是X曲线y=g(x)上不同两点，

11、且gC)=g(x2),求证：x1x20,所以f(x)在A上单调递增；当白0时，由fx)=0得X=Ina当x(-oo,)时，fx)0.所以/(x)在(o,w)上单调递减，在(加4+X)上单调递增.综上所述，当O时，f(x)在R上单调递增：当40时，f(x)在(o,w)上单调递减，在(/“a,+oo)上单调递增.(2)由题意g(x0)=O得=*-!，不妨设XVx2,由g(%)=g(乂)，得e*-g+-=ex2-Cix3+a+,Px-x211PXI-f,x211HP-=+-,且=*=，所以1=/一y,X1-2XX2AT1-X2XxX2%要证X1X2,即证xix2X0,显然人Cr)=d-在(0,+00)上是增函数，故只需证人(JXIX2)V(/)，即证6后1-1，xxx