第4讲 转化与化归思想 2.docx

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1、第4讲转化与化归思想【思想概述】转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.方法一特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案.例1(1)“蒙口圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个

2、与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C系+手=1(O)的离心率为;，则椭圆。的蒙日圆的方程为()A.x2+y2=9B.x2j2=7C.y2=5D.x2y2=4思路分析求蒙日圆方程一求蒙日圆半径一找圆上任一点即可求半径一取特殊点一求两切线的交点，即为蒙日圆上一点答案By2v21解析因为椭圆C币+=1(O)的离心率为亍所以。=；,解得=3,+12所以椭圆C的方程为Y+q=1,所以椭圆的上顶点A(0,3),右顶点BQ,0),所以经过A,8两点的切线方程分别为)，=5,x=2i所以两条切线的交点坐标为(2,3),又过48的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上，可得圆的半径r

3、=22(3)2=7,所以椭圆C的蒙日圆方程为r+y2=7.批注根据题意每个椭圆的“蒙日圆”都是固定的，所以取特殊点，利用过特殊点的互相垂直的切线的交点也在蒙日圆上即可求半径，体现了特殊到一般的思想.(2)在平行四边形ABCD中，的=12,1屐)|=8,若点M,N满足前=3证,DN=2NC,则刀证NM等于()A.20B.15C.36D.6思路分析假设ABCO为矩形，建系一写出坐标一数量积运算答案C解析假设ABCO为矩形，如图建系，则A(0,0),M(12,6),M8,8),Af=(12,6),W=(4,-2),A=124+6(-2)=36.规律方法一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问

4、题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果.对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案.方法二命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化.例2(1)由命题“存在xR,使铲F-MWO”是假命题,得7的取值范围是(一8,a)t则实数。的值是()A.(8,1)B.(8,2)C.1D.2思路分析命题：存在x7?,使e11-n0是假命题-任意7?,eF一加0是真命题Me恒成立

5、一求机的范围一求答案C解析由命题“存在xR,使*FmWO”是假命题，可知它的否定形式“任意R,e,一机0”是真命题，可得m的取值范围是(一8,1),而(8,)与(一8,1)为同一区间，故a=.(2)已知在三棱锥户一43C中，=BC=234,PB=AC=WfPC=AB=2相,则三棱锥产-ABC的体积为()A.40B.80C.160D.240思路分析求PA8C的体积一补成长方体一求长方体除P-ABC之外的三棱锥体积答案C解析因为三棱锥PABC的三组对边两两相等，所以可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBGbDC易知三棱锥P-ABC的各棱分别是此长方体

6、的面对角线.不妨令PE=x,EB=ytEA=ztX=6,Ty=8,N=10.fX2+/=100,则由已知，可得x2+z2=136,Iy+z2=164从而知Vp-ABC=Vaebg-FPDC-VP-AEB-Vc-abg-Vb-pdc-VA-FPC=Vebg-fpdcVp-aeb=6810-46810=160./(x)=x2ef(x)=J,所以W(0,2),/(x)O,则人工)单调递增，x(2,+),f(x)v,则Ar)单调递减，4所以当x=2时，取极大值，为大2)=/，且式0)=0,当X-+8时，/)-0,所以人处在(0,+8)上的值域为(0,目，g(x)=-$+2/-3x+c,g(X)=x24

7、-3,所以x1,3,g,(x)0,则g(x)单调递增，所以g(x)在1,3上的值域为cg,c,要使g(x)在x1,3上的值域范围比火x)在x(0,+8)的值域范围大，例4已知函数y(x)=e1nx,g(x)=%(x)-(x+1).(1)求函数g(x)的极大值;(2)求证：1+T+g*F%1n(+1)(WM).思路分析g(x)的极值-*InxO).令g(x)O,解得(Kxv1;令g(x)v,解得x1.函数g(x)在(U)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,g(x)级大值=g(D=-2.(2)证明由(1)知X=I是函数g(x)的极大值点，也是最大值点,g(x)Wg(I)=-2,即InX(x+1)

8、W2=InXWX-I(当且仅当X=I时等号成立)，令r=x-1,得彦InQ+1)(。-1).取=(M)时，则%in(+3=m(),13141In2,1n铲In.，叠加得1HF1nf2-=1n(w+1).即1+J+gdF-I(1)(N*).规律方法借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.-规律方法根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略,也称为“补集法”：含两个变量的问题可以变换主元.方法三函数、方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y=(x)的图象性质可以确定方程人工)=。，不等式/)乂)和y(x)v的解集.例3(2023南通模拟)已知函数y=Pe,g(x)=-r3+2-3%+c,若对m(0,+),3x23,使火总)=g(M)成立，则C的取值范围是()44c41A.cBcr*3e23C.cgD.c2*思路分析V%1,标2,y(x)=g(X2)f(x)的值域是g(x)值域的子集t(x),g(x)的值域答案B解析若对Vx(O,+),3X21,3,使火XI)=g(X2)成立，则g(x)在e1,3上的值域范围比入:)在x(0,+8)的值域范围大.