第六章 计数原理公式定理结论图表新教材公开课.docx

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1、第六章计数原理（公式、定理、结论图表）思维导图两个计数原理二项式定理排列，排Z式组合，组合数公式应用一、知识梳理一、计数原理1 .分类加法计数原理概念：完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有叫种不同的方法，在第2类方案中有丐种不同的方法，在第类方案中有叫I种不同的方法，那么完成这件事共有N=叫+吗+乙种不同的方法（也称加法原理）特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏”2 .分步乘法计数原理概念：完成一件事需要个步骤，做第1步有叫种不同的方法，做第2步有丐种不同的方法，做第步有阳“种不同的方法，那么，完成这件事共有N二叫x/xX加种不同的

2、方法（也称乘法原理）特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整”3.两个原理的联系与区别.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事

3、区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,关联确保不遗漏,“独立”确保不重复4、计数原理的解题步骤指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分类”还是“分步”；求每“类”或每”步中不同方法的种数；利用“相加”或相乘”得到完成事件的方法总数；作答。5、从加个不同元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二第位上选取元素的方法都是，个，所以从，个不同元素中，每次取出个元素可重复排列数ZM？/W=n,O二、排列1 .排列：一般地，从个不同元素中取出m（m）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出机个元素的一个排列2 .排列数

4、：从个不同元素中取出z（W）个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出团个元素的排列数，用符号4表示3 .排列数公式：=（一1）（一2）（一机+1）=yn（w,N,且m）（一/）！三、组合1组合：一般地，从个不同的元素中取出加（相同个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出加个元素的一个组合2 .组合数：从个不同元素中取出机。%）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出加个元素的组合数，用符号表示3 .组合数公式：C”5f（一2）（m+1）=T-（mi,且相）A：tntnn-tn）4 .组合数的性质：q=cfm;（2）CM=C：+MT四、二项式定理1.二项式定理概念：一般地，对于任

5、意的正整数，都有（a+b）n=cy+CMI+Can-2b+Cdibk+C（WN）这个公式称为二项式定理,等号右边的式子称为（。+8）”的二项展开式，（。+匕）的二项展开式共有+1项，其中各项的系数。：（左0,1,2J,）叫做二项式系数，C%1必称为二项展开式的第左+1项，又称为二项展开式的通项2.二项展开式的特征：（1）二项展开式共有+1项；（2）二项式系数依次为组合数c：，C，C，G，,c;；（3）各项次数都等于二项式的事指数：（4）字母。的指数由开始按降球排列到0,人的指数由0开始按升球排列到3 .二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分4 .二项式系数的性质

6、对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等M+1增减性：当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的2n最大值：当是偶数时，中间一项的二项式系数。取得最大值；当是奇数时，中间两项的二项式系数n-1+1cj,Cj相等，且同时取得最大值5 .二项式系数和：（1）二项展开式中各二项式系数之和为2；（2）在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于2.解题方法与技巧一、分类加法计数原理的应用分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何

7、一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏.典例1：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？I思路点拨根据情况安排个位、十位上的数字.先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论.解法一：分析个位数，可分以下几类：个位是9,则十位可以是1,2,3,，8中的一个，故有8个；个位是8,则十位可以是1,2,3,，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；：个位是2的只有1个.由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).法二：按十位上的数字分

8、别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(个).法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出：12,13,14,15,16,17,18,19,23,24,25,26,27,28,29,34,35,36,37,38,39,45,46,47,48,49,56,57,58,59,67,68,69,78,79,89.共有36个符合题意的两位数.二、应用分步乘法计数原理的注意事项(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来

9、合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.典例2：回文数指从左向右读与从右向左读都一样的正整数，如22,343,1221,94249等.显然两位同文数有9个，即11,22,33,99；三位回文数有90个，即109121,131191,202,999.则四位回文数有个，2MM）位回文数有个.【解】：由题意，可得4位回文数的特点为中间两位是相同的，千位和个位数相同但不能为0,第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中

10、间两位数字，共有10种选法；由分步计数原理可得，4位回文数共有9x10=90个.在2nn7V+）位P1文数中，第一步，先选左边的第一个数字，共有9种选法；第二步，分步选左边的第2,3,4,个数字，共有IoXIoXIOXX1O=I（TT种选法，由分步计数原理可得，在2位回文数中，共有91个.故答案为：90；9x10，三、.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的方法技巧分类要做至不重不漏T分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.完成了所有步骤，恰好完成任务,当然步k与步之间要相互独立.分步后再计算每分步要做到”步骤完整。T一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一

11、步方法数相乘,得到总数.四、排列组合解题方法1可重复的排列求基法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数2 .相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.3 .相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.4 .元素分析法（位置分析法,某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。5 .多

12、排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。6 .定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.7 .标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.8 .不同元索的分配问题（先分堆再分配注意平均分堆的算法9 .相同元素的分配问题隔板法：10 .走楼梯问题（分类法与插空法相结合）I1染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对区域是否同色分类讨论；（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。典例3：7名同学，

13、其中4名男同学，3名女同学：站成一排，共有多少种不同的排法？【解析】问题可以看作7个元素的全排列4=5040。站成两排，前排3名同学，后排4名同学，共有多少种不同的排法？【解析】根据分步计数原理765X4x321=A；=7!=5040。站成两排，前排3名女同学，后排4名男同学，共有多少种不同的排法？【解析】根据分步计数原理4x3x2x2x3x2x1=A:用=4!3!=144站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？【解析】首先先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的6个元素的全排列点=720站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置，共有多少

14、种不同的排法？【解析】首先先把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看作余下的6个元素的全排列=720。站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？【解析】根据分步计数原理：第步甲、乙站在两端有用种，第二步余下的5名同学进行全排列有封种， 共有用父二240种排列方法。站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？【解析】解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5名同学中选2名同学站在排头和排尾有种方法，第二步从余下的5名同学中选5名进行排列（全排列）有封种方法，一共有封=2400种排列方法；解法2(排除法)：若甲站在排头有A：种方法，若乙站在排尾有A：种方法，若甲站在排头且乙站在排尾则有6种方法， 甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有A；-2+国=2400种。站成一排，甲、乙两名同学必须相邻的排法共有多少种？【解析】先将甲、乙两名同学捆绑”在一起看成一个元素，再与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有小种方法，最后将甲、乙两名同学“松绑进行排列有种方法， 这样的排法一共有父A”1440种方法。(9)站成一排，4名男同学必须站在一起，3名女同学也必须站在一起。【解析】先将3名女同学“捆绑”在一起看成一个元素，有用种情况，再将4名男同学“捆绑”在一起看成一个元素，有A：种情况，这时一共有2个整合的后元素，有用种情况，一