第六章 平面向量及其应用公式定理结论图表新教材公开课.docx

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1、第六章平面向量及其应用（公式、定理、结论图表）1、思维导图平面向量的实际背景与概念平面向量的概念平面向量的几何表示相等向量与共线向量平面向量的加、减运算平面向量的运算平面向量的数乘运算平面向量的数量积平面向量及其应用平面向量基本定理平面向量基本定理及坐标表示平面向量的坐标表示平面向量运算的坐标表示用向量方法解决平面几何问题平面向量的应用用向量方法解决物理问题余弦定理、正弦定理I.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的摸.(2)零向量：长度为止的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向

2、量，规定：。与任一向量共线.(5)相等向量：长度相等且方向蛔的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2 .向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算囱、三角形法则av平行四边形法则交换律：a+b=ba：结合律：3+b)+c=a+(b+c)减法求。与b的相反向量b的和的运算a三角形法则a-b=a-b)数乘求实数/1与向量。的积的运算Iza1=Iz11ab当20时，Xa与。的方向相同;当AVo时，与的方向相反;当A=O时，=0(uo)=G.)a;(z)a=zaz,g;1(a+=ia+劝3 .两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数2

3、,使得b-=a.4 .平面向量基本定理如果，62是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面内的任意向量直且区直一对实数加42，使。=e-2e.其中，不共线的向量幻，62叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.5 .平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设=(X1,yi),b=(X2,”)，则a+b=(x+x2,Vi+v2),ab=(-2V1V2),g=(x,v)Ia1=+.向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；设Aa1，y),B(X2,”)，则AB=Cr2R，V2-Vi)，AB=(X2-即)+(V2-v)2.6 .平面向量共线的坐标表示设=(x,

4、y),b=(X2,”)，其中bzz0,a/bxy?X2Vi=0.7 .向量的夹角定义：已知两个非零向量。和儿作5=,OB=bf则上如贵就是向量。与的夹角.(2)范围：设夕是向量。与b的夹角，则0180o.共线与垂直：若。=0,则。与b回包；若。=180,则。与b反向；若9=90,则与力垂直.8 .平面向量的数量积定义设两个非零向量。，力的夹角为则IaI1b卜COS1叫做a与b的数量积，记作ab投影IaICoS_。叫做向量。在方方向上的投影，IbICoS叫做向量b在。方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度与b在a的方向上的投影协ICOS-的乘积9 .向量数量积的运算律()ab=ba.(2)(

5、ab=(ab=a(b).(+b)c=c+bc.10 .平面向量数量积的有关结论己知非零向量。=(即，y),6=(X2，)，。与力的夹角为8.结论几何表示坐标表示模a=yqa13=出岸+*夹角_COSB.网12yV2cosQS力的充要条件b=OXp+H2=O1 .五个特殊向量(1)要注意。与。的区别，O是一个实数，O是一个向量，且IO1=0.(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同.(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量.(4)与向量。平行的单位向量有两个，即向量潦和一养2 .五个常用结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点

6、指向最后一个向量的终点的向量，即FA-4=AA.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.(2)若尸为线段48的中点，O为平面内任意一点，则。A=(+曲.(3)若4,B,。是平面内不共线的三点，则谡+而+反=OOP为aABC的重心.bDc(4)在AABC中，AD,BE,C”分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为AABC的重心，则有如下结论：GAGGC=0;AG=|(AB+AC);b=*+b,b=(AC).(5)若a=4巫+4无入为常数)，贝JA,B,C三点共线的充要条件是J+=1.3 .基底需要的关注三点(1)基底约，的必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能

7、作为基底.(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一.Q|=ZZi(3)如果对于一组基底0,62，有。=右约+42。2=*口+202，则可以得到JII42=42.4 .共线向量定理应关注的两点若=(x,y),b=(x2f”)，则。b的充要条件不能表示成行=?，因为物力有可能等于0，应表-*2)2示为X1,2-2j1=0.(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定.5 .两个结论(1)已知尸为线段AB的中点，若Aay),8(x2,”)，则P点坐标为*，江产).(2)已知8C的顶点Aa1,y),6(42,y2),C(x3,y3),则4A8C的重心G的坐标为(江亨匕口，16

8、.两个向量0,b的夹角为锐角O且b不共线；两个向量0,b的夹角为钝角UbVO且0,b不共线.7 .平面向量数量积运算的常用公式(1)(+b)(-b)=/一炉.(2)(+b)2=2+24b+b2.(3)(。-NF=/-2b+b2.故选A.法二：EB=AB-AE=AB-Ab=AB-jj(A-AC)=jA-AC,故选A.(2)AR在四边形ABCO中，如图所示，因为正=Q),所以四边形ABCO为平行四边形.由已知得成=(而,-.由题意知/)产SZBEA,则而=!诵，所以次=2AA2-A-A1-A2-A-解析】法一：由题图可得AE=AB+8E=A8+铲C=A8+*BA+A。+。=WAB+,(A。+。C)

9、=Q因为AE=MB+sAO,所以r=g,S=多则2r+3s=1+2=3.法二：因为8E=2EC,所以AE-AB=2(AC-AE),整理,qA。，以下同法一.+Db=(AD2y油1-3Ac2-3+-B法三：如图，延长A。，BC交于点P,则由皮=拗得。CA8,且A8=4OC又泥：=2诙，所以E为PB的中点，且办=浙.于是，A=;(嘉+力)=*AB+%f)=)+各7).以下同法一.法四：如图，建立平面直府坐标系xAy,依题意可设点8(4m,O),(3b3)E(4m,2A),其中?0,0.由AE=M8+sAO,得(4m,2h)=r(4m,0)+s(3,3人)，42=4ir+3zs,所以，2h=3hs,1r=2f2S=I所以2r+3s=1+2=3.【答案】C三、共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量。，b,若存在实数九使=M(30),则。与b共线.(2)证明三点共线：若存在实数九使矗=疝；，则4,B,。三点共线.(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.注意证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.典例6：设两