专题五 第1讲 计数原理与概率 4.docx

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1、Zhuantiwu专题五概率与统计第1讲计数原理与概率考情分析1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查3概率重点考查古典概型、条件概率的基本应用.考点一排列与组合问题【核心提炼】解决排列、组合问题的一般过程（1）认真审题弄清荒要做什么事情；（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.例1（1）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最

2、早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于周礼春官大师.八音分为“金、石、土、革、丝、木、鲍、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、鲍、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学安排了包括“土、鲍、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“鲍”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（）A.960B.1024C.1296D.2021答案C解析由题意知，排课可分为以下两大类：（1）“丝”被选中，不同的方法总数为郎=（2认1一3人认认9=720（种）；（2）“丝”不被选中，不同的方法总数为M=Qa办山U=576（种

3、）.故共有TV=720+576=1296（种）.（2）（2023.石家庄模拟）2023年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A,。三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（）A.630种B.600种C.540种D.480种答案C解析把6名工作人员分成1,1,4三组，再安排到三个村有C野XAS=啜X3X2X1A2ZA1=90（种）；把6名工作人员分成2,2,2三组，再安排到三个村有笔FXAj=90（种）；X3X2X1=360（种）,把6名工作人员分成1,2,3三组，再安排到三个村有CKAj=啜华Z1所以共有90+90+360=540（种）

4、.规律方法排列、组合问题的求解方法与技巧（1）合理分类与准确分步；（2）排列、组合混合问题要先选后排；（3）特殊元素优先安排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题除法处理：（7）“小集团”排列问题先整体后局部；（8）正难则反，等价转化.跟踪演练1（1）（2023石景山模拟）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443等.那么在四位数中，回文数共有（）A.81个B.90个C.IOO个D.900个答案B解析由题意可知，回文数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的，所以共有CJC1O=90（个）.（2）（2023.温州模拟）有2辆不同的红

5、色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有种不同的停放方法.（用数字作答）HH0E0H答案72解析因为要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，所以第一行只能停放一辆红色车与一辆黑色车，共有2X2X6种停法，再在第二行分类讨论停放剩下的车，第二辆红车如果停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有2种方法，第二辆红车如果不停在第一辆黑车下方，则第二辆黑车有1种方法，共有3种情况,因此共有3X2X2X6=72（种）情况.考点二二项式定理【核心提炼】1 .求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路（1）利用通项公式将7；+1项写出并化简.(2)令字

6、母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出(3)代回通项公式得所求.2 .对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解.例2(1)。+1)(也一书6展开式中含X的项的系数为()A.220B.-220C.100D.-100答案D解析卜万一方下的通项公式为7=(也)6-一a=ck-2)%3一(0Wk6,zz),所以含X的项为日(2)3$+1C(-2)2x,=-160x+60x=-IOQr,其系数为一100.(2)(多选)(2023徐州模拟)已知(12x)221=的+0+22gj2O212023*则()A.展开式中所有项的二项式系

7、数和为22必a2O21-1B.展开式中所有奇数项系数和为一2a2O21-1C.展开式中所有偶数项系数和为一2Ca11a2III2O211D.y+pHF莎F=-1答案ABD解析A项，二项式系数之和为02+以+C蝴1=22021,故A正确；B项，(12x)202=0o+2X2+202if02,当X=-I时，3202,=f10-+2-3-2021当X=I时，(-I)202=o+2+3H0202,j2021-I+可得，320231=2(t7of12Hb2O2)f1220232，故B正确；22021_|_IC项，一可得，32+1=-2(0+3+。2023)=。1+。3+。2023=-5，故C错误；D项，

8、(12x)22=o+22+202ifg，令X=0,则的=1,令X=M则O=4o+1+和悖留，+砥HFT=-1,故D正确.易错提醒二项式通项公式/+=3+=CUrtr从伏=0,1,2,，)，它表示的是二项式的展开式的第k+1项，而不是第k项；其中C是二项式展开式第A+1项的二项式系数，而二项式展开式第&+1项的系数是字母赛前的常数，要区分二项式系数与系数，注意k=0,1,2,，儿跟踪演练2(1)(2023南昌模拟)在(x+f的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0,则含3的项系数为()A.45B.-45C.120D.-120答案A解析在(x+f)的展开式中，只有第六项的二项式

9、系数最大，(x+9”的展开式有11项，即=10,而展开式的所有项的系数和为0,令x=1,代入G+三)=0,即(1+=0,=-1.,(x-9的展开式的通项为.+1=CMor(一=(1)仁做Kr汽要求含f的项，只需1022=6,解得女=2,所以系数为(一1PcYo=?乂9=45.，入1(2)(2023,枣庄模拟)若6=0o+(x+1)+2(x+1)2+3(x+1+6(x+1)6,则。3等于()A.20B.-20C.15D.-15答案B解析因为犬=(x+i)ip,所以展开式的通项为+=c+i)6f.(-1)、令6T=3,则攵=3,所以03=6X(1)3=-20.考点三概率【核心提炼】1 .古典概型的

10、概率公式事件A包含的样本点数“川一试验的样本点总数.2 .条件概率公式设A,8为随机事件，且P(A)乂)，则P(BiA)=3 .全概率公式设A,4,，A”是一组两两互斥的事件,AiUA2U-UAn=i2,且P(Ai)0,=1,2,nf则对任意的事件BGQ,有P(B)=ZP(A)P(BA).例3（1）（2023全国甲卷）将4个1和2个。随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）答案C解析方法一（将4个1和2个。视为完全不同的元素）4个1分别设为1A,18,1C,1O,2个0分别设为0A,08,将4个1和2个。随机排成一行有AE种排法，将1A,18,1C,1O,排成一行有可种排法，再将OAoB插空有

11、Ag种排法，所以2个0不相邻的概率P=第=|.方法二（含有相同元素的排列）将4个1和2个。安排在6个位置，则选择2个位置安排0,共有CW种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0,共有C沸排法.所以2个。不相邻的概率夕唱=|.（2）（2023新高考全国I）有6个相同的球，分别标有数字123,4,5,6,从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁

12、相互独立答案B解析事件甲发生的概率P（甲）=:，事件乙发生的概率P（乙）=:，事件丙发生的概率P（丙）=77=,事件丁发生的概率P（丁）=&=1.事件甲与事件丙同时发生的概率为O,P（甲丙）P（甲）P（丙），故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为总7=1，P（甲丁）=OO30P（甲）P（丁），故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为C=EP（乙丙）WP（乙）P（丙）,故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.规律方法求概率的方法与技巧（1）古典概型用古典概型概率公式求解.（2）条件概率用条件概率公式及全概率公式求解.（3）根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事

13、件的概率公式求解.（4）判断出特殊的分布列类型，直接套用公式求解.跟踪演练3（1）在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球.将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为Pi和P2,则（）A.P=P2C.Pip2答案BB.pD.以上三种情况都有可能解析方法一中每箱中的黑球被选中的概率为古，所以至少摸出一个黑球的概率P1=I()2.方法二中每箱中的黑球被选中的概率为/所以至少摸出一个黑球的概率以=1一(号？P1Q=(5(=传(盖)“0,则PP2.

14、(2)有三个箱子，分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球、4个白球，2号箱装有2个红球、3个白球，3号箱装有3个红球.某人从三个箱子中任取一箱，从中任意摸出一球，取得红球的概率为.答案解析记事件Ai为“球取自于i(i=1,2,3)号箱”，记事件8为“取得红球”，8发生总是伴随着A,A2,A3之一同时发生，即b=ab+a2b+a3b,且A11A2Bt&B两两互斥，P(A1)=P(A2)=P(A3)=|,P(BA)=,P(BiA2得,P(BIA3)=I,1112所以P(B)=P(AB)P(A2B)+P(A3B)=P(AoP(BIA)+P(A2)P(W2)+P(A3)P(A3)=55+35,1.8+31=15专题强化练一、单项选择题1. (2023.唐山模拟)已知多项选择题的四个选项A,B,C,D中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得分.若某题的正确答案是ABC,某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为()a1Rac1D&八2b10c-6uI1答案A解析由题意得，从4个选项里选两个选项，共有C4=6(种)方法，从3个正确选项里选择两个选项，共有C3=3(种)方法.31由古典概型的概率公式得所求的概率为p=g=52. CI+2+4+2一等于（）3”-12A.3