专题一 第4讲 导数的几何意义及函数的单调性 2.docx

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1、第4讲导数的几何意义及函数的单调性考情分析1导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题.考点一导数的几何意义与计算【核心提炼】1 .复合函数的导数复合函数y=(g(x)的导数和函数=g(x)的导数间的关系为yx=y.2 .导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.例1(1)(2023芜湖模拟)已知T

2、W=Inx一夕(1)x2+x+,则曲线“r)在点(1,川)处的切线方程为()A.xy1=0B.4-y-1=0C.x4y1=0D.4x4y1=0答案D解析由题意得，/(X)=T-F(1)1,令x=1,可得/(1)=1-/(1)+1,解得/(1)=1,根据导数的几何意义可得，在点(1,犬1)处切线斜率女=/(1)=1,又KV)=In%x2+,所以T(I)=In1+1+(=,即切点为(1,3),3所以切线方程为y1,整理得4x4y-1=0.(2)(2023新高考全国1)若过点(,b)可以作曲线y=e的两条切线，则()A.QhaB.ertZ?C.OtzeftD.0O,则切线方程为y-b=ex(xa)1

3、由yo-b=e*(3一0),JD=e%,得e(1xo+)=仇则由题意知关于XO的方程e(I-o-a)=b有两个不同的解.设7(x)=et(1-+),则，(X)=eU-+)-er=-ex(-),由/(x)=0得x=a,所以当K0,_/(X)单调递增，当K时，/(x)0,_/(X)单调递减，所以/(x)max=()=e(1-+)=巴当xOt所以大外0,当彳一8时，小：)-0,当+8时，Av)T8,函数y()=e(1-+)的大致图象如图所示，因为火X)的图象与直线y=b有两个交点，所以Oa方法二(用图估算法)过点(,b)可以作曲线y=e的两条切线，则点(0,3在曲线)=e*的下方且在X轴的上方，得(

4、RA=2,解得b=2,故2+b=2+2=4.若曲线y=sin2x+坐cos2在AaI,y),B(X2，”)两点处的切线互相垂直，则IXIr2的最小值为()4C兀-2CA.?B，2C.D.答案B解析Vy2xfcos=n2x+乎xi誓4碓若)+坐y=COS(zt+：),曲线的切线斜率的取值范围为又曲线在A(X1,j),Bg”)两点处的切线互相垂直，故在A(Xy),8(x2,”)两点处的切线斜率必须一个是1,一个是一1则IX1X2min=去考点二利用导数研究函数的单调性【核心提炼】利用导致研究函数单调性的步骤研究函数y=的定义域；(2)求y(x)的导数/(X);(3)求出F(外的零点，划分单调区间；

5、(4)判断F(外在各个单调区间内的符号.例2已知Kr)=(-1nx)+午R.讨论人彳)的单调性.解兀灯的定义域为(0,+),f(x)=a-?+?=p.若40,当x(O,D时,f(x)0,4r)单调递增；当x(1,+8)时，/()2时，0Jo,y(x)单调递增；(x)0,汽外单调递增；当xW,1)时，f(x)0,凡)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减；当01,若0,f=n(-DG+-D当02时，y在(o,1U上单调递增，在I)上单调递减，在(I,+8)上单调递增.规律方法讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解

6、集来讨论：(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论；(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.跟踪演练2(2023全国II)已知函数凡r)=21nx+1(1)若人1)乏2+小求C的取值范围；设A0,讨论函数g(x)=驾三誓的单调性.解设h(x)=J(x)-2-ct则h(x)=2nX2x1?,2其定义域为(0,),h,(x)=-2.当Oy0;当QI时，h,(x)0,当K(a,+8)时，f(x)0,所以贝外在(0,a)上单调递增，在(a,+8)上单调递

7、减,所以(x)0(或/(x)v)在xO上有解.例3(1)(2023六安模拟)已知函数/(x)=ex-e-,g(x)=sinx+:x3or.对于任意即，如且即关X2,都有犍二臀0,则实数。的取值范围是()g)g(M)A.a0B.W0C.a0，所以KtI)一兀3),g(H)g(42)同号，因此M与g(x)的单调性相同，Svx)S2)因为/)=d+ero,所以函数於)为增函数，因此gw也为增函数，g(X)=COSX+%-小因为g(x)是增函数，故CoSX+%2恒成立.即Wcosx+*恒成立.令(X)=COSX+#,则力(x)=X-SinX,设(X)=X-SinX,因为机(x)=I-CoSX20,故m

8、(x)=-sinx为增函数，又w(0)=0,故当0时，/n(x)0,即(x)0,即(x)0,因此(K)单调递增，故(x)=cosx2的最小值为(0)=1.故W1.(2)定义在R上的函数段)的导函数为/，若/(X)矶r),则不等式巧5+1)凸(太一3)的解集是()B.(2,+)A.(8,2)D.(8,4)C.(4,o)答案Dfe2if-a/、IX)，(f()n解析令Sa)-e,v(入)-e(x+1)=,(x+1)=er,1(x+1),r/(2-3)又e(2x3)=e2x-3，不等式ey(x+1)e1(2-3),可化为exex+,(x1)e4ezt-3(2x-3),即e21(x1)e2tt(2-3

9、),即9(x+1)2-3,即XV4.规律方法利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题，转化为利用导数研究单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.跟踪演练3若函数段)=&f2+1nx在(1,3)上不单调，则实数。的取值范围为()1Z,10r2-21斛析/(x)=-2+-=,令(x)=0v2-2or+17U)在(1,3)上不单调,，矶X)在(1,3)上有变号零点，当4=0时，不满足题意；当0时，0(%)的对称轴为x=1,.R(1)9(3)vO,解得a.(2)(2023宁波模拟)己知,f,%a,若e-J=sina2si”，则下列结论

10、一定成立的是（）A.a+Q=，B.a+夕=C.aD.a答案D解析由a,4（0，习可知，sinQ0,所以e-e=sina2sinSVSinasin,整理可得eSina0,故於）在（0,9上单调递增，所以av,专题强化练一、单项选择题1 .(2023全国I)函数y(x)=f2/的图象在点(1,y(i)处的切线方程为()A.y=-2-1B.y=-2x1C.y=2x3D.y=2x+1答案B解析1)=1-2=-1,切点坐标为(1,-1),f(x)=4j-62,所以切线的斜率为A=/(1)=413-612=-2,切线方程为y+1=2(x1),即y=2x+1.2.已知函数/(X)=X(eer),则W()A.是奇函数，且在(0,+8)上单调递减B.是奇函数，且在(0,+8)上单调递增C.是偶函数，且在(0,+8)上单调递减D.是偶函数，且在(0,+8)上单调递增答案D解析因为t(x)=x(eAe),xR,定义域关于原点对称，且x)=x(e-r-ex)=x(ev-e-)=J(x),所以yu)是偶函数，当Qo时，f()=ex-e-