专题四 第3讲 空间向量与空间角.docx

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1、第3讲空间向量与空间角考情分析以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角或线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等.考点一异面直线所成的角【核心提炼】设异面直线的方向向量分别为0=3,b,ci),b=(2,岳，),异面直线/与/n的夹角为仇则G(,.(jI)COSe=ICOS=_Ia1a2+功b2+cc2山+济+ch03+齿+R例1(2023全国乙卷)在正方体ABCQ-A/C1O1中，P为当。1的中点，则直线PB与AQ1所成的角为(),C兀一eA.B.C.D.72346答案D解析方法一如图，连接GP,因为A8C。

2、一4SG。是正方体，且?为Bid的中点，所以GP18O,又C1P1.BB,所以GP_1平面818P.又BPU平面BiBP,所以GPJ_BP.连接BG,则ADi/BCif所以NPBG为直线PB与ADi所成的角.设正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为2,则在RtZXGPB中，C1P=TB1DI=巾,fiC=22,SinNPBG=念所以NPBG弋.方法二以5为坐标原点，8G,BiAi,8归所在的直线分别为X轴、)，轴、Z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD-AiBiGd的棱长为2,则6(0,0,2),P(1,1,0),d(2,2,0),A(0,2,2),=(-1,-1,2),ADi=(

3、2,0,-2).设直线PB与ADI所成的角为仇则COSe=丽AIPfiIIADiI_16_V3682所以e=.方法三如图所示，连接BG,A,A1P,PCb则易知AOiBG,所以直线尸8与AA所成的角等于直线P8与BG所成的角.根据P为正方形4BG。的对角线所。的中点，易知A,P,G三点共线，且P为A1G的中点.易知A由=6G=4G,所以4AG为等边三角形,所以NA山又P为AQ的中点，所以可得NpBGKNA山G4（2）（2023杭州模拟）如图，已知圆锥CQ的截面aABC是正三角形，AB是底面圆O的直径,点。在AB上，且NAOQ=2NBOO,则异面直线Ao与BC所成角的余弦值为（）A亚b1C工信4

4、。2u4答案A解析因为NAoD=2NB0D,且AOO+N8Of=,所以NB0。=?如图，连接C0,则CY?_1平面A8O,以点。为坐标原点，OB,OC所在直线分别为），轴，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设圆。的半径为2,则A(0,-2,0),8(0,2,0),C(0,0,23),D(3,1,0),D=(3,3,0),fiC=(0,-2,23),设异面直线A。与8C所成的角为仇则CoS（私施尸黑=黑考因此，异面直线A。与BC所成角的余弦值为手.规律方法平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化将为共面直线问题来解决，具体步骤如下：(1)平移：平移异面

5、直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角.(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角.(3)计算：求该角的值，常利用解三角形.(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.跟踪演练1(1)(2023大庆模拟)如图，已知棱长为2的正方体ABCOIG。，E,FfG分别为A8,CD1,AZ)的中点，则异面直线4G与取所成角的余弦值为()A.0BC乎D.1解析答案如图，分别以DA,DCi。所在的直线为X,y,Z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,2),G(1,0,0),E(2,1,0),F(0,1,1),所以布=(一1,0,-2

6、),=(-21),设异面直线AiG与EF所成的角为,剧.G-EF(-D(-2)-21则cos6=r.=J=0.AGIEF1巾X5(2)已知正方体ABCO-A归IGG中，点M是线段CG的中点，且平面4DM平面ABCO=I,则直线/与OG所成角的余弦值为()a153八2A-B2C.gDg答案A解析如图，取BC的中点M连接MMAMAB1,BiN,因为MN49，所以A,N,M,。四点共面，则平面A。M与平面ABCO的交线即为平面ANMd与平面ABC。的交线，交线/即为AN.在正方体ABeoA山GO中，易知OG4所，故直线/与OG所成角即为N3AN.设正方体的棱长为2,则B=22,AN=BIN=小,由余

7、弦定理得CosZBiAN=（2的2+（小）2一（而2_亚22255,考点二直线与平面所成的角【核心提炼】设直线/的方向向量为0,平面的法向量为凡直线/与平面所成的角为氏则JW0,?;Sine=ICoSa,=r.例2（2023广州模拟）在边长为2的菱形ABCO中，NA40=60。，点E是边AB的中点（如图1）,将沿DE折起到ZMiOE的位置，连接48,A1C,得到四棱锥4一8CE（如图2）.图1图2（1）证明：平面平面8COE；（2）若4E_1BE,连接CE,求直线CE与平面A1Cz）所成角的正弦值.证明连接题图1中的B。，因为四边形488为菱形，且NBAD=60。，所以AABO为等边三角形，所

8、以OE1A3,所以在题图2中有DE工BE,DEAiEf因为BECAIE=E,所以QE1.平面48E,因为OEU平面BCDE,所以平面A8EJ平面BCDE.解因为平面A1BE1平面SCOM平面AiBEC平面8。七=8：,4：_18七,4：=平面48：,所以4E_1平面BCDE,A1以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，所以A1(0,0,1),C(2,3,0),0(0,3,0),E(0,0,0),所以布=(0,3,-1),AiC=(2,3,-1),EC=(2,3,0),设平面AICO的法向量为=(X,y,z),nAD=y3y-z=0f叫_7iAiC=2x3,-z=0,令y=1,则=(0,1,3)

9、,所以CoS，EC=上|=嘉=W11MI的2巾14所以直线CE与平面A1Co所成角的正弦值为唱.易错提醒(1)线面角。与直线的方向向量和平面的法向量n所成的角明的关系是a,+9=或。，一。=E所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值.(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心.跟踪演练2(1)(2023新乡模拟)如图，在正三棱柱ABCAB6中，48=1,AAI=小，点D是侧棱B8的中点，则直线CiD与平面ABC所成角的余弦值为()答案D解析方法一如图，延长GO,与CB的延长线交于点瓦,CG_1平面ABe,GD与平面ABC所成的角为NCEG,又AB=1,A4=5,点。是BS的中点

10、，.CE=2,CTE=币,即CoSNCECI=至=币=T即直线GQ与平面ABC所成角的余弦值为平.又平面ABC的一个法向量为w=(O,O,1),设G。与平面ABC所成的角为仇则Sine=ICOS(CD,加I=当cos=.(2)(2023.西安模拟)己知A,B,C在球0的球面上，NBAC=I20。，AC=2fAB=If直线OA与截面ABC所成的角为60。，则球。的表面积为()416561123D3313答案D解析设AABC的外心为。1,由余弦定理得BC2=AB2-C1-2ABCcosZBAC=12+22-212cos120o=7,所以BC=币,则2。A=Sin1。=翁设球的半径为R,由题意可知O

11、Oi_1平面A8C,又直线OA与截面ABC所成的角为60。，所以NQAoI=60。，2Pj在R1AOO中，所以R=OA=2OA=,所以球O的表面积为S=4K=4X苧=号.考点三平面与平面的夹角【核心提炼】设平面,4的法向量分别为“，V,平面与平面4的夹角为仇则。0,5.vCOSe=ICoS=j.例3(2023.新高考全国I)如图，在三棱锥A8C。中，平面A8O_1平面8CQ,AB=AD,。为8。的中点.A(1)证明：OAJ_8；(2)若aOCO是边长为1的等边三角形，点E在棱AO上，DE=2EA,且二面角E-BC-O的大小为45,求三棱锥A-BCD的体积.证明因为AB=A。，。为BO的中点，所

12、以OAj1B0,又平面A8O_1平面BCD,且平面ABD平面BCD=BDiAoU平面ABDt所以Ao_1平面BCD,又CDU平面BCD,所以AO_1CD.解方法一因为aOCO是边长为1的正三角形，且。为BD的中点，所以OC=OB=00=1,所以ABCD是直角三角形，且NBCO=90。，BC=3,所以以8=勺.如图，过点E作E尸40,交3。于尸，过点尸作尸G_13C,垂足为G,连接EGA因为AO_1平面BCD,所以EE1平面BC0,又BCU平面BCD,所以FJ1BC又FG上BC,且EF尸G=F,EF,FGU平面EFG,所以BU1平面EFG,则NEG产为二面角E-BC-。的平面角，所以NEGF=4

13、5。，则GF=EE2因为DE=2EA,所以EF=yO4,DF=20F,所以需=2.因为尸G_18C,CD1BCf所以G产C。，则而二J所以G尸=?.2所以EZ=GA=,所以OA=I,所以VA-c=jSCD-AO=j2x=方法二如图所示，以。为坐标原点，OB,04所在直线分别为不Z轴，在平面8C。内,以过点。且与8。垂直的直线为)，轴建立空间直角坐标系.因为AOCD是边长为1的正三角形，且。为8。的中点,所以OC=OB=OD=I,所以B(1,0,0),0(100),一1日,0).设A(0,0,a),aQt因为OE=2EA,所以一；，0,当)由题意可知平面BCD的一个法向量为z=(0,0,1).设

14、平面BCE的法向量为Jn=(X,y,z),因为反=(一5,坐0),西=(-*0,yj,令x=1,则y=5,Z=。，所以w=(1,3,Ci因为二面角七一6。一。的大小为45,2dimna2所以cos45。=丽*得=1,即OA=1,因为S&bcd=BDCDsin60c*=X2X1，所以-CD=5CDOA=1=.易错提醒平面与平面的夹角的范围是o,5，两向量夹角的范围是O,两平面的夹角与其对应的两法向量的夹角之间不一定相等，而是相等或互补的关系.跟踪演练3(2023安庆模拟)在斜三棱柱A8C-AB,C中，是边长为2的正三角形，侧棱A4=25,顶点A在平面48C的射影为BC边的中点O.求证：平面5CCB,_1平面AOA；(2)求平面48C与平面AB,C夹角的余弦值.证明YB=?且。为8C的中点，：.AOBC,又4OJ_平面ABC,BCU平面48C,4,O1BC,.AOAO=OtAO,AOU平面AoA.故BC