教材解读第三章函数的概念与性质 总体设计.docx

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1、第三章函数的概念与性质总体设计函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用函数是贯穿高中数学课程的主线.通过本章的学习，要使学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型、解决问题；提升数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模素养.以上是标准（2017版）对本章内容的整体定位，也是本章编写的指导思想.一、本章学习目标1 .函数概念（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集

2、合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用.（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.2 .函数性质（1）借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值，理解它们的作用和实际意义.（2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.3 .鬲函数通过具体实例，结合y=/,y=/y=x2,y=1y=x3的图象，理解它们的变化规律，了解事函数.4 .函数应用体会函数与现实世界的密切联系，

3、初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.5 .函数的形成与发展收集函数概念的形成与发展的历史资料，撰写论文，论述函数发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及其对人类文明的贡献.二、本章知识结构框图函数II背景I函数的概念与表示11函数的基本性质产用三、内容安排作为中学阶段数学课程的一条主线，函数内容的安排体现了数学抽象的层次性，它是与学生的认知水平相适应的.第一个层次，初中阶段是从变量之间依赖关系的角度，对简单实例中的数量关系和变化规律进行归纳概括，得到函数的概念（简称“变量说”）以及三种表示法.要求能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；能确定简单实际问题

4、中函数自变量的取值范围，并会求出函数值；能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，并能结合对函数关系的分析，对变量的变化情况进行初步讨论.在此基础上，安排了一次函数、二次函数和反比例函数，通过这些函数，介绍研究一类函数的基本内容与方法，特别是通过二次函数，让学生学习定性刻画函数单调性的方法，以及函数的对称性、最大（小）值（顶点坐标）等性质.本章及后续的指数函数、对数函数和三角函数等基本初等函数，是在初中讨论变量关系基础上的再抽象，这是第二层次.本章是第二层次的起始阶段，具体安排如下:教科书以初中已学函数知识和“预备知识”中的二次函数知识为基础，通过四个具体实例的归纳、概括，抽象出函

5、数的“集合一对应说”，并用抽象符号f（X）表示函数.在概念引入环节，实例的选用是关键也是难点，四个实例重点考虑了归纳共性、抽象“集合一对应说”的需要，并采用规范讲解、模仿性学习的方式，使学生学习用“集合一对应”的数学语言描述现实问题.因为学生在初中阶段已经接触了函数的三种表示，所以教科书直接给出函数的三种表示法，并通过典型例题训练学生选择适当的方法表示函数，并通过例题引进分段函数.在数学概念的表示中，函数的表示是比较特别的，一是符号的抽象性，二是函数的几种表示方法对理解函数概念的促进作用（本质上都是对应关系），三是不同表示法的特点及相互之间的联系与转化.因此，教科：书在这里特别注意安排用“数学

6、语言表达世界”的训练.对于“函数的性质”，本章要用代数运算和函数图象研究函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等主要性质.这里既注意体现研究数学性质的一般思路，又注意函数性质的特殊性变化中的规律性、不变性.在研究方法上，加强了通过代数运算和图象直观揭示丽数性质的引导和明示.特别是在单调性的研究中，教科书构建了一个从具体到抽象、从特殊到一般的过程，引导学生归纳概括出用严格的数学语言精确刻画单调性的方法，从而为提升数学运算、直观想象素养，提升学生的抽象思维水平奠定基础.“塞函数”主要是借助对这一类函数的研究，使学生理解研究一类函数的内容、基本思路（定义与表示一图象与性质一应用）和方法.围绕函数概念这个

7、核心，从相互联系的观点出发，利用函数与数、代数式、方程、不等式等之间的联系与类比，引导学生从不同角度理解函数概念在塞函数概念的定义过程中，注意了在初中已学的正比例、反比例、二次函数等基础上，通过实例，引导学生归纳共性、抽象概括出概念.“函数的应用”主要是利用函数概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，包括研究已知解析式或图象的函数的性质，以及简单的建模问题.当然，在函数的表示、性质等内容中，也安排了利用函数概念解决已有的一次函数、二次函数、反比例函数的某些问题，这样可以使学生螺旋上升地认识已有函数，同时巩固函数概念.本章还安排了“文献阅读与数学写作”，通过对“函数的形成与发展”的研究，渗

8、透数学文化，使学生了解函数概念在数学和人类文明进步中的地位与作用.因为函数是贯穿高中数学课程的主线，所以本章内容在高中数学课程中具有奠基地位.同时，本章的学习对提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模等素养都有较大意义.第四章和第五章安排了指数函数、对数函数和三角函数，都是按照“实际背景一概念及其表示一图象与性质一应用”的主线，在一般函数概念的指导下展开研究.至此，基本完成了函数第二层次内容的学习.为了进一步深化对函数的理解，提升用函数解决问题的能力，在选择性必修中安排了数列、导数及其应用的学习.数列是一类特殊的函数（离散函数），而且具有非常广泛的实际应用，通过学习可以使学生完善函数的

9、类型，更有效地用函数解决实际问题；导数定量刻画了函数的局部变化状况，是研究函数性质的基本方法，通过学习可以使学生掌握研究函数性质的一般方法，能更好地用函数解决实际问题.这是数学思想的飞跃，是研究工具、研究方法的一次飞跃.与初中比较，高中强调函数是刻画客观世界中变量关系和变化规律的数学语言和工具，因此强调函数的背景、思想和应用，强调用集合语言、函数语言“表达世界”；强调与方程、不等式的联系，注重用函数观点理解和解决方程、不等式的有关问题；用导数为工具研究函数性质，使思想方法和研究手段都上升到一个全新的高度.具体安排强调螺旋上升，先从一般性角度研究函数概念，使学生在宏观上了解函数的内容和方法，起到

10、先行组织者的作用；然后通过基本初等函数的学习，以具体函数为载体，感受用函数建立数学模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的应用，学会用函数思想和方法解决问题.定义抽象、符号抽象、具体函数类型多且复杂（连续的、离散的）、相关知识的联系性增强、用更多的工具（代数运算、几何直观、导数）讨论函数性质等是高中阶段函数学习的特点.特别地，引入具有一般性的抽象函数符号f（X）,使学生能通过建立函数模型刻画现实问题的数量关系，并通过讨论函数的性质来认识、把握和解释它的运动变化规律，这是学习函数的重要意义所在.四、课时安排本章教学约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：3.1 函数的概念及其表示约4课时3

11、.2 函数的基本性质约3课时3.3 塞函数约1课时3.4 函数的应用（一）约1课时文献阅读与数学写作函数的形成与发展约1课时小结约2课时五、本章编写思考本章要在初中学习函数概念的基础上，引导学生利用“变量说”对典型事例进行分析，感悟引入“集合一对应说”的必要性，并通过对具体实例共同特征的归纳，抽象概括出函数概念；引导学生体会不同表示法的特点，能根据问题的特点选择合适的表示法表示函数;让学生学会用严谨的符号语言刻画函数的单调性、奇偶性等性质的方法，并能用函数的概念与性质解决简单的问题.通过“预备知识”的学习，学生在学习心理、学习方法和知识技能等方面为高中学习作了必要的准备，也为函数概念作了数学语

12、言的准备.本章可以看成是高中数学学习的正式起点，在知识的抽象程度、处理问题的方式方法以及数学语言表达等方面，都要上一个新台阶；同时，本章又是公认的难点内容.因此，本章内容对学生顺利进入高中数学学习有非常重要的意义，需要精心处理.1 .构建函数的研究框架一般地，每一章内容都有特定的研究对象.编写教科书首先需要构建相应的研究框架，设计研究路径；然后再循序渐进地、有逻辑地安排具体内容，引导学生发现和提出问题，探索研究方法，获得研究结果并用于解决问题.事实上，在教科书的不同章节中，研究对象、研究内容和具体方法都会有所变化，但研究的整体框架、路径是基本相同的.让学生明确研究的框架和路径，对学生了解“数学

13、的方式”，明确学习方向和学习重点，落实“四基”“四能”，减轻学习负担,提高学习质量和效益等，都有很大的意义.本章的学习基础主要是初中的函数知识和相关的学习经验，以及集合的有关知识.从概念学习的需要看，学生应经历从典型丰富的具体例证中分析、归纳共性，概括出函数的内涵并下定义的过程，还要通过概念辨析深入理解概念的内涵.函数概念的学习应该从“事实”出发，用概念形成的方式.在定义函数概念、理解函数的各种表示法后，研究函数的值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊点的取值等性质，它们从事物的“关系”“规律”等角度反映了函数的某些特征.接着，针对某一类客观现象（如均匀变化、匀变速、指数增长、对数增长、周期现象等

14、）建立函数模型.其核心内容有两个：一是建立关于这种变化现象中量与量之间的确切关系函数模型y=fG从而精确地刻画一个量是如何随着另一个量的变化而变化的；二是通过代数运算、图象直观，发现这类函数的性质，包括定义域、值域、单调性、最大（小）值、衰减率、增长速度、函数的零点等，这些性质都是这类现象在某一方面变化规律的反映.归结起来，对于函数的研究，其大致的框架是：函数的事实一函数概念的定义与表示一函数的性质一基本初等函数.本章要完成从事实到概念（定义与表示）再到性质的学习，使学生构建函数的一般概念，了解函数的研究内容和基本方法.2 .加强与学生已有经验的联系标准（2017版）认为，“函数概念的引入，可

15、以用学生熟悉的例子为背景进行抽象.例如，可以从学生已知的、基于变量关系的函数定义入手，引导学生通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次”，“引导学生从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观这三个角度整体认识函数概念，发展数学抽象素养”.实际上，这是在强调以学生的现有认知水平为基础展开函数概念的教学,这也是教科书编写的基本原则.标准（2017版）的上述要求，指出了函数既念的教学中要利用学生两方面的知识经验：一是学生已知的、基于变量关系的函数定义；二是刻画生活或数学中“对应关系”的经验.（1）在初中学习函数概念的基础上展

16、开新内容学生在初中已经按照“函数的概念一一次函数一二次函数一反比例函数”的顺序，较完整地学习过函数的有关知识.其中，函数的概念如下：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量X与y,并且对于X的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是X的函数.如果当X=。时y=。，那么b叫做当自变量的值为。时的函数值.可以看到，上述定义已经有了“y与X对应”的表述，但这里的“对应”仅仅是自然语言.本章要做的是在此基础上的进一步抽象，明确对应的意义，并用集合语言具体指明X,y的变化范围，引入抽象符号力A-B和y=（x）表示对应关系.为此，教科书先引导学生用变量关系的语言分析实例，指出其不严密的问题，并给出“用更精确的语言”表示对应关系的示范，然后再通过变式引导学生用集合语言和对应关系刻