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1、-:知识与方法极点极线是射影几何中的重要内容,在中学教材中并未提及,但纵观历年高考的解析几何大题,可以发现诸多试题都有极点极线的背景,所以了解极点极线,可以让我们站在更高处来看待问题.这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性质,再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点,来加深大家的理解.1.极点极线的几何定义:以椭圆为例,如图1所示,设P为椭圆外一点,过P作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于48和四点,AC与BD交干点、M,AD与BC交干点、N,则称点P为直线MN关于椭圆的极点,直线MN为点P关于椭圆的极线.另一方面,图1也可以这么来看,从椭圆外的点作椭圆的两条割线分别交桶圆于4
2、,和8、C四点,AC与BD交于点、M,AB与CD交干息P,所以点/V和直线掰也是一对极点极线,事实上,点附和直线例也是一对极点极线,因此在一PMN中,以其中一个顶点作为极点,那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线,从而我们将./AW称为“自极三角形”,为了加以区分,图中画成了虚线.这个图形有两种特殊情况:(1)如图2所示,当四边形ABa)有一组对边平行时,如AD%C,此时我们看成41和3C的交点/V在无穷远处,那么以为极点,对应的极线是图2中的PN21其中PN2/BC以,为极点,那么极线是MN,其中MNI;(2)如图3所示,当其中一条割线变成切线时,此时以M、/V几个点就都与切点C重合,从而
3、点C和切线PC是一对极点极线.图1图2图32 .极点极线的代数定义:在平面直角坐标系Xoy中,设有圆锥曲线。(圆、椭圆、双曲线、抛物线均可)和不与C的对称中心重合的点Pa,%),在圆锥曲线C的方程中,用0x替换为),替换V,分尸替换X,”2替换片得到的方程即为以P作为极点的极线/的方程.例如,设椭圆C的方程为+V=I,极点为P(2,4),则与。对应的极线为T+4y=1,即x+4y-1=0;又如,设抛物线C的方程为y2=2x,极点为P(2,4),则与夕对应的极线为今=2等,即x-4y+2=0可以看到,极点与极线是一个成对的概念,且若给定极点,求极线的规则是统一的,与圆锥曲线的类型无关,与极点的位
4、置无关,下面以椭圆为例,说明极点,在不同位置时,极线/的情形:(1)当点Q在椭圆C上时,极线/为椭圆C在9处的切线,如图4所示;(2)当点P在椭圆。外部时,极线/为点?对椭圆C的切点弦所在直线,如图5所示;(3)当点在椭圆C内部时,过点任作椭圆C的一条割线交C于48两点,椭圆C在A8两点处的切线交于点。,则当割线/W绕着点旋转时,点。的轨迹就是极线/,如图6所示.3 .极点极线的常用性质:(下面以椭圆为例)(D如图7所示,。为椭圆中心,点P在桶圆内,延长OP交椭圆于点0,交椭圆与点对应的极线/于点M则|0P|、IOQ|、IOM成等比数列;当P恰好为弦AB的中点时,直线AB的方程为W+绰=+4,
5、且极线/和椭圆在点。处的切线均与AA平行.abab(2)调和分割性:如图8所示,设极点的极线是直线/,过户作椭圆的一条割线交椭圆于48两点,交极线/于点Qt则P、40、8成调和点列,即磔=您j(或写成阀QB3=_1+_1)IPQ1|网IPB1(3)配极原理:若点P关于椭圆的极线过点则点。关于椭圆的极线也过点户.由此出发,我们可以得出共线点的极线必然共点,共点极线的极点必然共线,如图9所示,极点P1.P2S8的极线分别为4、Z2XZ31则6、P2、8共线O乙、I24共点.提醒:极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”,不能作为正式的作答,我们在学习时,仍然应该以基本方法为主,
6、技巧偏方为辅,不能本末倒置.二:典型例题例1(2023新高考I1卷多选)已知直线/:ox+y-,=0与圆UY+V=/,点A(a)则下列说法正确的是()A.若点/1在圆C上,则直线/与圆C相切B.若点4在圆C内,则直线/与圆C相离C.若点/1在圆C外,则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上,则直线/与圆C相切【解析】解法1:A项,若点力在圆C上,则/+从=/圆心C到直线/的距离d=T=J=所以直线/与圆C相切,故A项正确;B项,若点/1在圆。内,则,厂+从r,77hr77F所以直线/与圆C相离,故B项正确;C项,若点彳在圆C外,则a2+b2r2,圆心C到直线/的距离d=-=J=-=Ja2+b2解
7、法2:显然对于圆Q以A(力)作为极点,那么极线就是/:火+力-=0A项,若极点4在圆C上,则极线/是圆。的切线,故A项正确;B项,若极点4在圆C内,则极线/与圆C相离,故B项正确;C项,若极点/1在圆C外,则极线/是圆C的切点弦,应与圆C相交,故C项错误;D项,若极点/在直线/上,这是极线恰好为切线,极点为切点的情形,故D项正确.【答案】ABD当ICq=当时,易得直线/与X轴垂直,故可设/的方程为.y=去+1(2hOh1),y=kx+设Ca,),D(X1,%),联立),2消去y整理得:伊+2)f+2米一1=0,+X-=12判别式A=8(&2+1)0,由韦达定理,、所以ICq=+公.归_司=Ji
8、+公.弧(;1)=芈,解得:k=g所以直线/的方程为y=2x+1.(2)极点极线看问题:设P(皿0),以P为极点,则对应的极线为如=1,即工=1m显然点。在极线上,所以=,,不难发现OP0Q=g!O%=1inrn注意:上面的过程不能作为正式的作答,卷面上可以按下面两个解法来写.解法1:直线AC的斜率为怎C=一,其方程为y=(x+1),x1+1x1+1直线处的斜率为1=M,其方程为广告T(XT,%+力(司+1)XQT弘(2T)用式除以式整理得:=j2j1+1?XTX(X2T)而乃(N+1)=(京2+I)(K+1)二点+区2+芭+1,所%+1二点9+左0+N+1,由知y1(2-1)(Ax1+1)(
9、x2-1)A1v1x2-fcr1+x2-1xq-1kx1x2-kxi+X2-I2kX1=zX2k2+224+&_37,+k2+2-犬+22k-I+T解得:XQ=-k,易得一(。故。POQ=XPXQ=-(1)=1,即OPOQ为定值1解法2:直线AC的斜率为阳0=其方程为y=-(x+1),x1x1直线的斜率为即D=一,其方程为y=1(X-1),x2-1X,-1用式除以式整理得:巴=斗士?,即I1y卢+?XTX(X2-1)XQT所以j+1Y=1(n+1)2=20_4)(内+)2=(I+)+1)_12+(%+x2)+11-r2-1Jy2(2-1)22(1-x12)(x2-1)2(I-X1)(I-X2)
10、x2-(xi+x2)+1因为内,x2(-1,1),所以上0,结合可得M与&异号,2-1XQTy1yy2=(攵+1)(Ax2+)=k2x1x2+&(X+x2)+1=-2d+1一2-25_2(1+)(1-A:)k2+2+k2+2k2+22(1)2k-k2+2,1+1所以)i%与异号,+即三与七二1异号,从而竺士1与幺二1同号,所以土上1=,解y1k+Xq-1&+1XQ-IZ+1得:xQ=-kf易得Pu0),故OPOQ=XP%=q.(-k)=1,即OPOQ为定值1.【例3】(2023新课标I卷)已知48分别为椭圆石:/+y2=()的左、右顶点,6为的上顶点,AGG8=8,P为直线x=6上的动点,PA
11、与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程;(2)证明:直线Cf)过定点.【解析】(1)由题意,A(-a,0),B(a,0),G(OJ),故AG=(,1),GB=(a-1)tPJtKtAGGB=a2-1=8,解得:=3或一3(舍去),故万的方程为+9=1.(2)极点极线看问题:如图1,设AB和CO交于点。,4)和C8交于点队则.PQM为自极三角形,所以点。和直线PM是一对极点极线,设Q(mO),则极线PM的方程为e=I,即=2,又点P在直线1=6上,所以2=6,从而“I故Qe,这样就得到了直mm22J线CO过定点长,)注意:上面的过程不能作为正式的作答,卷面上可以按下面两个解
12、法来写.解法1:由(1)知A(T0),8(3,0),设P(6,z),C(xpy,),D(x2,y2),当F*0时,直线的方程为x-y-3,代入工+9=消去X化简得:解得:N=O或袅,所以先=工,故2=2%一3=,从而c,昌,r2+9r+9r+9(广+9r+9)直线号的方程为X=23,代入+V=消去X化简得:仪+9卜+少=0,解得:y=o或一乡,所以知=2,从而j=3%+3=,故4-A1,1+r1+广t1+rV1+r1rJ故TC初),所以八c、。三点共线,从而直线a过定点,o当f=0时,易得C、。分别与反力重合,所以直线CD即为X轴,显然直线8也过点7,综上所述,直线CD过定点噌,0)解法2:由
13、(1)知A(T0),8(3,0),设C(X“J,D(x2,y2)9P(6,j0)当先HO时,由图2可知点C不与点8重合,因为猴+犬=1,所以犬=*-#),故C4、C4的斜率之积为攵6%,=;.;=YJ=-Jx1+31-3芍-99又以的斜率&分=%u=与,的斜率G=%=与,所以G=(1,代入式化简得:BC、如的斜率之积cAw=-g,显然CD不与y轴垂直,否则AC与阿的交点在V轴上,故可直线S的方程为X=阳+f,X=my+1联立if消去X整理得:(/+9)y2+2,畋+/一9=0,+y=1,9判别式A=4z2一4(4+9)(-9)0,所以M+9-0,由韦达定理,y1+y2=-4y*%必=三?,m+
14、9m+9所以内+2=w(y1+y2)+2r=-,x1x2=m2yy2+mt(y+y2)+t2,kBD=T-Z=-1故一3y%=玉/-3(王+%)+9,x1-3x2-3XyX2-3(+2)+93即3=2=广虹3.T+9,整理得:2r2-9r+9=0,解得:z=3或3,W+9W2+9TW2+92若f=3,则C、,中有一个点与8重合,不合题意,所以,=,满足(),即直线8过2定点(1,0),当先=0时,易得C、,分别与8、/!重合,所以直线C。即为X轴,也过点(|,0卜综上所述,直线CO过定点整0)图1图22【例4】(2018新课标I卷)设椭圆U+V=1的右焦点为E过厂的直线/与C交于48两点,点卷的坐标为(2,0).(1)当/与X轴垂直时,求直线的方程;(2)设。为坐标原点,证明:/OMA=NoMB.【解析】G)由题意,F(1,0),当/与X轴垂直时,其方程为x=1,即点力的坐标为x=,2由f2解得:y=+y-=122当点力的坐标为卜,当I时,直线AM