第十三讲三角形的等积变形.docx

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1、第十三讲三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积二底XJ2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）.同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）.这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的,则三角形面积与原来的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数

2、多个不同的形状.本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等.底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等.若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.例如在右图中，若ZXABD与ZXAEC的底边相等（BD=DE=EC=BC）,它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等.同时也可以知道AABC的面积是AABD或AAEC面积的3倍.例如在右图中，A

3、ABC与aDBC的底相同（它们的底都是BC）,它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等.例如右图中，AABC与ADBC的底相同（它们的底都是BC）,ABC的高是ADBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD,有AH=2DE）,则AABC的面积是ADBC面积的2倍.上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.例1用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方法1：如右图，将Be边四等分（BD=DE=EF=FC=BC）,连结AD、AE、AF.则ABDZXADE、AEF.ZXAF寻积.方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结

4、AD,得到两个等积三角形，即AABD与aADC等积.然后取AC、AB中点E、F,并连结DE、DF.以而得到四个等积三角形，即AADF、BDF.DCE.AADE等积.方法3：如右图，先将BC四等分，即BD=bC,连结AD,再将Ai)三等分，即AB=EF=FD=(AD,连结CE、CF,从而得到四个等积的三角形,即AABD、CDF.CERZACE等积.例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1：3：4.方法1：如下左图，将BC边八等分，取1：3：4的分点D、E,连结ADAE,从而得到aABDADEAEC的面积比为1：3：4.方法2：如上右图，先取BC中点D,再取AB的

5、9分点E,连结AD、DE,从而得到三个三角形：ZADE、BDEACD.其面积比为1：3：4.方法3：如右图，先取AB中点D,连结CD,再取CD上9分点E,连结AE,从而得到三个三角形；ZXACEZXADEBCD,其面积比为1:3:4.当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：AoB与ACOD面积相等.BC证明：ABC与aDBC等底等高，SBC=SDBC又SA0B=SABC-SB0CSDOC=SDBC-SBOCSOB=SCOD.例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角

6、形，二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A处，4NBD与AABD面积相等，从而AADC面积与原四边形ABCD面积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形aADC.问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则.过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A点.解：连结BD；过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A.连结AD,则aACD与四边形ABCD等积.例5如右图，已知在aABC中，BE=3AE,CD=2D.若aADE的面积为1平方厘米.求三角形ABC的面积.解法1连结BD,在AABD中/BE=3AE,SABD=4SA

7、DE=4（平方厘米）.在AABC中，VCD=2AD,SABC=3SABD=34=12（平方厘米）.解法2：连结CE,如右图所示，在aACE中,VCD=2D,SACE=3SADE=3（平方厘米）.在AABC中，VBE=3AE.SBC=4SACE=4X3=12（平方厘米）.例6如下页图,在AABC中，BD=2AD,AG=2CG,C,求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几?BE=EF=FC=3解：连结BG,在ZkABG中,.BD=2AD,/.Sadg=Sabg,在AABC中,.2,AG=2CG,SabgSabc,._12_2S&AOG=X?SaABC=5SABC._21同理SABDE=SAABc

8、；SACFG=gSABC，SDG+SBDE+SCFG=(-+-+-)s=-S、999，abc9bc54阴影部分面积=a-g)Sc=S=c例7如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC,如果AADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面积.解：连结AF、CE,SADE=SACE;SCDF=SACF;又TAC与EF平行，SACE=SACF;.SADE=SCDF=4（平方厘米）.例8如右图，四边形ABCD面积为1,且AB=AE,BC=BF,DC=CG,AD=DH.求四边形EFGH的面积.解：连结BD,将四边形ABCD分成两个部分S1与S2.连结FD,有SFBD=SDBC=S1所以SCGF=SDFC=2S1.同理SEH=2S2,因此SZAEH+SZCGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2X1=2.同理，连结AC之后，可求出SHGD+SEBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）.例9如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若SZADE=1,求aBEF的面积.解：连结AC,VBCD,SDE=SCE又.ADBC,.SACF=SABFTfSACF=SACE+SAEF：SABF=SBEF+SAEFSCE=SBEFSBEF=SDE=1.