解不等式知识点题型详解.docx

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1、不等式的解法1、一元一次不等式Or方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为火的形式，若40,则若则x2；若。=0,则当b-33解：此时，因为。的符号不知道，所以要分：=0,X）,aVO这三种情况来讨论.由原不等式得x1当。=0时，=01.所以，此时不等式无解.当O时，=x1,当0时，=x-.aa【例1-2】已知不等式（3+2b）x+6（-b）v。与不等式3（2一。+1）%+。2一+1O。解：aeR,a2-+1O*3（/一。+1）工+。2一。的解为一：（3+2b）x0解X“一切由题意=_6（一。）3a-2b33+2b3a=4b0代入所求：一次一色?0.x-3要注意：当一元一次不等式中

2、未知数的系数是字母时，要分未知数的系数等于0、大于0、小于0这三种情况来讨论.2、一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当A=O和A0,w是方程Or2+zr+c=0的两实根，且大0ax2+Zzx+cOax2+bx+cOax2+bx+c0*4xXVX或2XE%或2)xxX0;(2)3x2-4x-1O;(3)x2-2+1O;(4)2-2+0;(5)x2-2+3O;(6)x2-2+3O.解析：(1)(2)代表判别式大于0的一元二次不等式的题目.只不过(1)对应的一元二次方程容易因式分解求两根，(2)就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式来求两根.(3)(

3、4)代表判别式等于0的一元二次不等式的题目.(5)(6)代表判别式小于0的一元二次不等式的题目.(1)因为对此不等式对应的一元二次方程21-3%-5:0因式分解得(2X-5)(X+1)=0.所以该方程的两根为：白，或aT2又因为此不等式对应的一元二次函数)，=2X2-3X-5的抛物线开口向上，所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，可以直接写出不等式2-31-50的范围：x-f或x0,一元二次方程3/-4尤T=O有两个不同的实数根为无产丝在，或工产纪互.33此不等式中工的取值范围是纪互马电；33(3) 22%+1=0的判另IJ式A=O.-2X+1=0有两个相等的实数根，XkX2=1.所以，

4、根据“大于在两边，小于在中间”的原理，不等式/-2x+10中X的取值范围是1x1,即=1；(4)与(3)类似分析，可知不等式-2+o中X的取值范围是1,或x1,即XW1；(5)因为方程X2-2X+3=0的判别式A0,，不等式/-2x+30中X的取值范围是xR;(6)与(5)类似分析，可知不等式-2x+30中X的取值范围是空集.【例22】解下列关于X的不等式：(1)X2-(a+)x+a()；(2)x2-(a+a1)x+a,(3)ax2+r1O.解析：这是与一元(一)二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：易因式分解求根的形式和不易(能)因式分解求根的形式.解这类题的关键是：把参数

5、以正确的情况来分类讨论，然后再用解一元一(二)次不等式的基本方法来做.(1)方法一：因为本题容易因式分解，所以，易知原不等式(x-)(x-1)O.当=1时，x.当时，xa,或x,或X1；a时，即=0,或=1时，原不等式的解为：JV=0,或X=1.当2时，即或4v,原不等式的解为：f1xd2.当时，即Ov1时，原不等式的解为：2xa;(3)式对应的方程不易因式分解求出根，判别式的符号不能确定，并且一的系数含有参数.这说明对应方程根的情况不能确定，该不等式也不一定为一元二次不等式.综合上述分析，我们应以一的系数为O以及判别式为O时，得出的参数。值作为讨论的依据.求出的参数。把数轴分为几部分，相应的

6、就分几种情况来讨论.令X?的系数为0,即4=0.再令判别式A=O,即a?4。=O=0,或。=4.所以，求出的，值一共有两个，这两个值把数轴分为五部分：4.由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了.当=OH寸，原不等式o1().所以，此时不等式的解集为空集.当=4f1寸，原不等式u4%2+4x+10=(2x+1)20x=-.2当v时，对应的一元二次函数的图像开口向下，判别式A0.对应的一元二次方程的两根为：Cic4cT+J0-441u,h-X=,或X)=.且此时x9x1.2a-2a所以，当。丽，原不等式的解为：X一2_仅，或X2也2a2a当041,对应的一元二次函数的图像开口向上，判别式41时，

7、对应的一元二次函数的图像开口向上，判别式A0.此时，对应的一元二次方程的根仍为上面所求的两根.只不过句JV1.所以，当。纸寸，原不等式的解为：+2a2a总结：对于这种类型中易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后再以两根的大小来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们应以一的系数为0以及判别式为0时，得出的参数。值作为讨论的依据.求出的参数。把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型.注意：每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类回答！要与前面所讲述的题型中“一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并

8、集，最后得到的才是(不)等式的解集”的原则进行区别和联系.3、简单的一元高次不等式的解法：数轴穿根法：基本步骤：将不等式右边化为O,左边分解成若干个一次因式或二次不可分因式的积.把每个因式的最高次项系数化为正数.将每个一次因式的根从小到大依次标在数轴上.(4)从右上方依次通过每个点画出曲线，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过数轴；遇到偶次因式的根对应的点，曲线不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回.即规律“奇穿偶不穿”.根据曲线就可以知道函数值符号变化规律.【例3-1解下列关于X的不等式：(x-1)(x-2)(x-3)0;(2)(2x1)(3x+1)(-4x1)0;(3)(x-3)(+1)(-2x-3)

9、O;(x+1)2(x-1)(x+2)-1,J1r3;(4)-2x0(或*0of(x)g(x)0;也0141%(R0g()g()Ig(X)=U(3)分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。【例41】解下列关于X的不等式：Z110；(3)x-43x+52x-1解析：这种题型的基本做法是化为一元一次不等式组或一元二次不等式来解.-X+10X+10x-40从而再利用一元一次不等式组的解法得到原不等式中的/的范围为1尤0.从而再利用一元二次不等式的解法得到原不等式中的/的范围为1/4；比较这两种方法，可以看出方法2运算的较快一点，而且不容易出错.(2)与(1)类似两种方法都可以用

10、.只不过，要注意分母不能为0.现在只用方法2来解：原式等价于产16)(3x+j)40,3x+50因此，原不等式中的X的范围为-WVX3;3(3)首先要移项、通分，变为(2)式的形式，然后再用做(2)的方法来做.注意：因为分母的正负不知道，所以不能两边同时乘以分母!原式等价于-10.=等F12x-O.2x-1()2x-10x-.2总结：这种题型要注意两点：(1)要注意分母不能为0.(2)当不等号后面是不为O的式子(常数或关于未知数X的式子)，并且分母的正负不知道时，不能不等式两边同时乘以分母，而只能移项、通分，变为基本的形式来做.【例4-2】关于X的不等式这一0的解集为(1,+8),则关于X的不等式丝心0的解集为x-25 .含绝对值不等式的解法题型一：形如IGr+c与IaX型的不等式的解法.【公式法】【例5-1解下列关于X的不等式：(1) 2-111;(3)2-10;(4) 2-10;(5)2-1|c(或沁)以及x+bc(或c)类型的绝对值不等式中(其中,b,c为常数，且a#0),(1)(2)代表常数C大于0的题型，(3)(4)代表常数C等于O的题型；(5)(6)代表常数C小于O的题型.原不等式o-