立体几保中的空间角专题(2)公开课.docx

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1、空间角1 .如图，在三棱锥P-ABC中，A43C是边长为2的正三角形，ZPCA=90 , E, H分别是AP, AC 的中点，AP=4, BE=百(1)求证：ACJL平面BEH(2)求直线PA与平面ABC所成角的正弦值2 .如图，已知四边形A8C。是菱形，是边长为1的正三角形，F为EC的中点，又AE人BF,EBLBC(1)求证：AC-LDF；(2)求直线4E与平面A3C所成角的正弦值.3 .如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA = AB = 2垃，E、b分别为P8、PD的中点，平面AE尸与棱PC的交点为G.求平面AEG/与平面ABCD所成锐二面角的正切值的大小；(2)求*的值.4 .如图，四边

2、形A3CO是正方形，QG_L平面ABC。，AE/I)G/CF.AE = CF = -DG = .2(1)证明：BGLAC；若点。到平面BEGF的距离为0，求平面BEGF与平面ADGE所成角的大小.5 .如图，正方形ABCZ)所在平面与等边所在平面成的锐二面角为6()，设平面A8E与平面CQE相交于直线/.求证：IHCD；求直线力E与平面8CE所成角的正弦值.6 .如图，。是以A3为直径的圆。上异于A, B的点，平面平面ABC, APACP, PA = PC = AC = 2, BC = 4f E,尸分别是尸C, PB的中点.(1)求证：5cL平面PAC；(2)记平面A与平面A8c的交线为直线/

3、,点Q为直线/上动点，求直线PQ与平面A石尸所成的角的取值范围.7 .如图，在直三棱柱ABC-AgG中，平面43C，侧面48与4,目求证：ABLBCx若直线AC与平面ARC所成的角为，请问在线段A。上是否存在点E,使O得二面角A-8E-C的大小为?，若存在请求出E的位置，不存在请说明理由.8 .如图，在三棱台 A8C力口中，AB = BC = AC = 2,AD = DF = FC = 1,N 为)尸的中点.(1)证明：ACLBN；3(2)若二面角力-4C-B的大小为0,且cos = -,求直线AD与平面3瓦C所成角的正弦值.9 .如图，已知在四棱锥尸-ABC。中，底面A5CD是平行四边形，侧

4、面P3C是以尸。为斜边的直角三角形，。为PC的中点，PB = 8, BC = 6,AP = AB = AC = 3.求证：宜线AO_L平面P5C；(2)若过8c的平面4与侧棱雨,尸。的交点分别为4凡且所=3,求直线OO与平面。所成角的正弦值.10 .在四棱锥 PABCQ中，PA_L平面 A8CD, AD/IBC, ZBAD =AD = 2AB = 2BC = 4f N为心的中点，例为AO的中点（如 A3）.（回）线段PO上是否存在点Q,使得AN 平面CMQ?若存在，指出点。的位置；若不存在，请说明理由；2（团）若异面直线N。与PC所成角的余弦值为，求二面角。-CN-A的平面角的余弦值.11 .

5、如图，在三棱锥 PA3C 中，AB=BC, AP=PC, ZABC = 1, API PC,直线利与平面ABC所成角为己，。在PC上且所量无，（0,1）.（1）若PBPC,求证：平面平面PAC；（2）若PBu平面ABC。，EF.平面ABCD,所以“7/平面A8CD,砂u平面AEGF,设平面AEG/与平面A8CO相交于直线/,/0 /T H BD,连接。A,则因为AE=AF,所以AQLEF,又因为O4J.BO,因为 PA = 4B = 2&，所以 AC = JG+BC? =4, PO7P尺-AO? =2,故N04。即为平面AEG/与平面ABC。所成锐二面角，其中0Q = ；0P = l , A0

6、 = AC = 2f所以tan ZOAQ =嗡=J，即平面AEG/与平面ABCD所成锐二面角的正切值为Z1解：延长AQ,因为平面AEG/n平面PAC = AQ,则由两平面相交的性质可得AQ 一定过点G,过点6作时。0交AC于点M,因为PO_L底面A8C。，所以GM _L底面A3C。,设GM = CM = x,贝ijAM=4-x,由（1）知tan/OAQ = g,所以篝4即士斗解得故辞4GM _ 3 _ 2OP 3AB4 .(1)证明见解析(2)-3【解析】【分析】(1)连接8D,进而根据题意证明平面A3CO,进而证明结论；(2)过点。作8G的垂线交BG于H,则。H为点。到平面BEG/的距离，进

7、而根据几何关系得= 再以。为坐标原点，DA, DC, OG所在直线分别为1轴，轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-肛2,利用坐标法求解即可.(1)证明：如图，连接BD.团四边形A8c。是正方形，团8O_LAC.t20G_L平面A8c。，又ACu平面ABC。,(3ZX71AC.又 BD、DG = D,回ACJL平面放X；.乂 8Gu平面及X；,团3G_LAC.(2)解：如图，连接所，0AE/7CF,且AE = b,团四边形ACFE是平行四边形.团 ACF. 乂由(1)可知 AC_L 平面 8ZX；,团所，平面应力.团平面3OG 平面BG凡过点。作8G的垂线交BG于“，则。“为点。到平面8EG

8、b的距离.设 A3 = x,则 8。=缶，BG = j2x? +4，根据等积思想得DH = -/仁=虚,解得工=夜.a/2x2+4以。为坐标原点，DA, DC,拉G所在直线分别为x轴，了轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,易得平面ADGE的一个法向量为OC = (),血,(,设平面BEGF的法向量为 =(x, y, z),由网6 0,1）, F（0,V2,l）, G（0,0,2）,得 GE 二 （夜,0,1）, GF =（0,72,-1）,n GE,如n GF.不妨令x = &,则)，=及，z = 2,团平面BEGF的一个法向量为z? = (72,72,2).吁(.)=ri设平面B

9、EG厂与平面ADGE所成的角为。，则|cos=；.TT由图可知，。为锐角.团。=.TT故平面BEG尸与平面ADGE所成的角为飞.5 .证明见解析(2)3+13【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定及线面平行的性质来证明；(2)建立空间直角坐标系解决线面角的正弦值.（1）因为CQA3, 61)平面相区 所以C。平面ABE乂面 ABE 平面 CDE=l,所以 l”CD（2）如图建立空间直角坐标系，设AE=2,则0E = 6x所以 A(l, 0, 0), B(-l, 0, 0), E(0,5 0), C(-l, 1, 6), D(l, 1, C),所以“二(1，6，0)，BC=(0, 1, 6),

10、设平面BCE的法向量为九= (x, y, z),x + Gy = 0,y + VJz = 0,取)，=-有，则 x = 3, z = l,故平面BCE的法向量为 =(3,-61),又 0芯=(_1,6_1,一我设直线。石与平面BCE所成角为。,则 sin 0 =DE.nDE n3次+ 2+136. (1)证明见解析；(0,【解析】【分析】(1)由己知得5C_LAC,利用面面垂直的性质定理即可证得；(2)由已知结合线面平行的判定定理知5C/平面AM,结合线面平行的性质定理知8c/,以。为坐标原点，C4, CB所在直线分别为x轴，)，轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设Q

11、(2,y,0),求出平面的一个法向量，利用空间向量求线面角即可得解.【详解】(1)证明：因为C是以A8为直径的圆。上异于4, 3的点，.8CL4C,又平面PAC_L平面A8C,且平面ACC平面A3C = 4C, 8Cu平面ABC,3C_L平面 PAC.(2)由E,尸分别是PC, PB的中点，.3C/EF,又4u平面AE/L 8cz平面A,.BC平面又 8Cu平面 A8C,平面 E7%c平面 A8C = /,8C/.以。为坐标原点，C4, C8所在直线分别为x轴，)，轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则 42,0,0), 8(),4,0), P(l,0,V3), ：.E厂;,2,等)，.A= I, EF = (0,2,0),. BC/1,因可设。(2,y,0),平面AM的一个法向量为z = (x,yz),_ 3X 岛22，取z = 5 得? = (1,O,G),EF - m = 2y =