第八章随机变量的数字特征 知识点梳理汇总.docx

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1、第八章随机变量的数字特征随机变量的概率分布是对其概率性质的最完整的刻画；数字特征是刻画随机变量某方面性质的数值。引例1:三种品牌手表日走时误差(单位：秒),分别有分布列日平均误差O秒;r-2-1O12、k0.10.10.60.1O1日平均误差+04秒;r-2-IO12、k0.120.040.60.160.08?引例2若Na),则(1) P(,Kb)=06826(2) P(2b)=09544(3)尸(一K3b)=09974说明J以很大的概率在A附近取值，刻画取值的大小。b?小，则区间(一3d+3cr)短，J取值集中；大，则区间(4一3b,+3b)长，自取值分散。1.数学期望1.离散型随机变量的数

2、学期望定义1.J有分布律12A,则称数值IP1PiPk)%P+a2P2+QkPk为A的数学期望，记作竺.设J取个值，其中有个1，%个,，”个则平均值niai+n2a2HFnkak岁取值的平均值稳定在E=axpi+a2p2+-+akpk(n2q、例1：自有分布律、1/81/43/81/4)E=(-1)1+01+2-+3i=-;84848(n_a2、若J有分布律，(1/41/81/43/8JIC1G311E=Ox-+(-1)X+3x-+2x=48488/*级数性质复习：级数有更序级数；，Z=I=1888OO若E%收敛，则Z1M1收敛，且EM=E%；=1=1i收敛，但工%I发散，则可能不等于,=11

3、=1I=I1=1也可能发散。*/定义2万有分布律(“%、5P1Pn)若级数IPi收敛，则称级数的和也为4的数学期=1I=I望，记作竺。否则称4的数学期望不存在。数学期望不存在的例：记ai=(-1),+1,(/=1,2,),I2X有分布律：p=%=牙，(i=i2)，贝IJ0000qi,co11=1(-i),+1-17=-7=iZ=I13i=EX不存在例2：E尸(,则烤=4证：P(J=k)=*e(k=0,12)k00OOz1A100U-I)!APe=A)Nht=3士=0k=1K*A=I12J3=%一.1+4+彳+彳+)=eTe=4/.E=2!3!练习：某种家电寿命X(单位：年)有分布密度/(%)=

4、0)100(x0)采用先使用后付款方式，且规定X1时，付1500元；1vX2时，付2000元;23时，付3000元。求此种家电一台收费y的数学期望。53八也生1500200025003000、1解：y的分布律为，则IP1P1。3P4)(1) pi=PX1(2) p2=P1X2(3) p,=P2X3。4=1一(尸1+。2+。3)2 .连续型随机变量的数学期望+8定义:J有分布密度/(x),若J1X(x)dr收敛，则-+Jxf(x)dx称为J(或分布/(X)的数学期望，记作自。否则称4的数学期望不存在。例1:J在0,1上均匀分布，J有分布密度/()=1(0x1)+oo1XI/(x)Jx=JX2xd

5、x=21_1-5O(x1).J存在，且+1xdx=-2E=Jxf(x)dx=J一般的，若U,R,则EJ=空女2例2：S有分布密度/=菽上了+8O+00jxf(x)dx收敛=卜xf(x)dx和xf(x)dx都收敛-88O+8+j+00J1,2其中JmX)血=/七5血二五OZtyA/40十”-1n(1+x2)+=Iim1n(1+x2)=+2。+2+00Jx(x)公发散，Eg不存在。-OO例3：gN6,则喏=.+8证：可以验证J1X1yi(X)dx收敛5E存在。00(x-)2EJxf(x)Jx=x17r2J-1-c-dx-J2令=,贝IJx=t+E=(t+)1e2dt练习：g服从指数分布，有分布密度

6、/(X)=，标0：；则转=J/t3 .随机变量函数的数学期望定理：(1)g(x)是一元函数，G有分布律/C=q)=Pi=1,2,。OO00若Eg(q)Pi收敛，则Egc)存在,且Egc)=Zg(q)PiI=Ii=1否则EgC)不存在。+自有分布密度/(x),若JIg(X)(X)公收敛，则Ege)+存在且EgC)=Jg(X)/(x)公；否则Egc)不存在。(2)A(X,)是二元函数,CM有分布律PC=。”=)=P(i,j=1,2,),OO(X)且ESG,g=办3”%.阿i=17=1若收敛，则EmC力)存在，=17=1；否则仍(4)不存在。(虞)有分布密度/(x,y),+oot-若JJIMX,y)

7、(,y)办曲收敛,则ETC,如存在,00-00+004-00且EuI(百力)=fh(x,y)f(x,y)dxdy;否则仍(4)不-CO-OO存在。(_102q、例有分布律(1/8143/814求成。解：E2=(-1)2i+02i22-+32i=-84848或E(2)=(-1)2+2+22+32=4848例2：J在0,2句上均匀分布，求E(SinJ)解：4有分布密度分(X)=五(0x2)0(X2%)+E(Sing)=sin(x)f(x)dx-OO2万=sinxdx=-cosxj=0.*22例3：CM）在区域A均匀分布，A由X轴、y轴及直线x+=1围成。求E八E及E（自哈。2解:（Q）的分布密度为

8、/（,丁）=：了干，,oo+00 Eg=Jx/(x,y)dxdy=xdxdy1I-Ix11=JxdxJJy=Jx(2-2x)dx=-；OOO3+oo+oo E=yf(x,y)dxdy=ydxdy-OO12-2X112=JdXJj=-(2-2x)2Jx=-;ooo23切)=Jxyf(x,y)dxdy=JJXydxdy00-00A12-2x1=JxdxJydy=x-(2-2x)2dr=-o00O234.数学期望的性质(1)。是常数，则EC=C。证：=C,则Pe=C)=1,E=C.(2”是常数,若EJ存在,则E(k)存在,且E(IcJ)=阻证：若J有分布律PC=%)=p”i=12则OO00E(k)=

9、(kai)pi=kaipi=kEz=1Z=I(3)(4)是二维随机变量，若存在，则4+)存在，且(.+)=酸+助证：)有分布律PC=Gj力=%)=P(i,j=1,2,)则=E=bjPij/=1j=1i=1J=I所以E(+TJ)=次次(+bj)pij=Aj+元SbjPijZ=Ij=1=17=11推论：若V,白独立,烤1，烤2,皆”存在,则EC益)存在，且EC/S,)=(%)(转2(监,)练习：与独立，4N(2,1)7UO,1,求)C力)N2(1,2,4,%O),求ECq(5)马尔科夫不等式：若JO且EJ存在，则对任何实数0,有P()i证：设J有分布密度/(x)O,则由4O,有XVO时,XO=P(

10、x)=jf(t)dt,xv时,/(x)=0.+P()=j1f(x)dxj-f(x)dxs1+8+00+00二xf(x)dxxf(x)dx=(xf(x)dx=EsE1(6) J0,若EJ=0,贝IJPe=O)=I例1：1B(n,p),则=”证：方法一：ErjfkCpk(1p)AkA=O711=叩EC3Pi(I-P)ig)=叨p+(1-p*=npA-I=O方法二：/2次独立试验，每次试验成功的概率是p,J表示成功的次数，则PC=储=C(1-p)i仆=o,明即J5(%p),=EJ.f1(第i次试验成功)记-=S1 10(第i次试验失败)(01、则多有分布律，i=1,2,/I1-Pp)=1+1+.+n

11、,E=Ei+E1+En=np:.E=np练习：一民航客车载有20位旅客，到达一站若无旅客下车则不停车，共有10站，而停车次数为X,求EX。(假定旅客在各站下车等可能，且各旅客是否下车相互独立)。2.方差1.定义：。是随机变量，若e-EJ)2的数学期望存在，则称研自一右4)2为4的方差，记做/(3(或OC)或Va芯)2()=E(-E)2=E(2-2E+(E)2)=E1-2EE+(E)2=E2-(E)2例：-P(A),则人)=%证：Pe=A)=MeT,(%=0,1,2,)，kE=,E2=E(-1)+E88Xk=Yk(k-1)-e+=T-e-+七kT(02)!k=2-2)i=2ee2+=2+.2()=E2-(E)2=22+2-22=例2：,N(q2),贝Ij倒)=一证：E=+2()=E(-4)2=4一)2=J(%)2f(x)dx一8+8-(X)2=(x-)21e2dxj0072”-8令t=,贝