2013-2014概率论与数理统计期末试题（答案）.docx

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1、2013-2014学年第一学期概率与数理统计试题A卷参考答案（信二学生会学习部整理）一、（12分）甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱.（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出并放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率.解（1）设A,表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i件次品”，（i=01,2,3）设B表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；120P( A)q = 9 9P( a 尸C盘=9 , p( A)=L Cl 201 Cl 20 以 204 Clc 1 c1P

2、(B/A )=0 , P(B/A 尸,=尸二 C： 62 Cl5 P(46)(2) P(aJ3)= 二 .6- P(B)3二（12分）1 .设连续型随机变量XU（a）（6/0,/20, ab,且均为常数），求y = lx3的概率密度函数.62.设随机变量X是在0,1上取值的连续型随机变量，且PX0.29 =0.75,若Y=-X,试确定 k,使得 PYk = 0.25 .解：1.X的密度函数为/(x)=,axbb - a0 ,其他的可取值范围是察，吧(2) X、丫的分布函数分别记为0(X)、FY(y)FY(y) = PYy =P1-Xy = PX y = l-Fx(l-y),要使 PYk =0.

3、25,所以 Fx(l-fe)=0.75由已知，&（0.29） = 0.75,从而4= 29，解得左=。力三（16分）1.设二维连续型随机变量（X,乃的联合概率密度函数为3,一 、L 0x2 y 1,/(x, y)=40,其他求边缘密度函数*)，/3).2.设随机变量x,y相互独立，都服从期望为1的指数分布.(1)求z=x+y的概率密度函数(Z)； (2)求U = M加(X,丹的数学期望(U).解:1 332AW = L/UoW = !2-4(Ix0,其他.厂3 _3 _人=上于(x, y)dx =* 一 2 梗 0 y L0,其他./z (z) = J /(x, z - x)dx.四(16分)

4、设随机变量X服从正态分布MO,4), y服从指数分布并且E(r)=2,Cov(X,Y)=-f 令 Z=X-aY,且已知 C 0z-x0.fz(zexe(zx)dx = zez, z 0,0,其他.(2)fl-e-2w几()=1-(V)(1-6()=10，w 0,其他.关于求导，得2elu10,u 0,其他.E(u)=r fu ()d= J2”u*2e du=-00(1)求常数a； (2)求Z的期望E(Z)与方差D(Z)； (3)求X和Z的相关系数Pxz.解:(1)由题设条件得到 E(X) = 0, D(X) = 4; E( 丫) = 2,。(F) = 4;因此cov(X, Z)= cov(K,

5、 z)= cov(x,X - tzr) = cov(y, X-aY)n cov(X, X ) - a cov(X, Y) = cov(匕 X ) - a cov(匕 Y)n 4-6z(-l) = -l-rzx4= a = -(2) Z=X-aY=X+YE(Z) = E(X+Y) = E(X)+ E(Y)=0+2=2D(Z) = 0( X + y) = ( X) + D(V) + 2cov(X ,y)= 4 + 4 2 = 6;(3) Cov(X,Z)= cov(X, X + y) = cov(X, X)+ cov(X,y) = 4 + (-1) = 3;cov(X,Z) 3、%Py7= 7 =

6、_L=./Q(X)O(Z) /4v64五、（8分）一复杂系统由个相互独立的部件所组成，每个部件能正常工作的概率均为0.9,且必须至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常工作，问九至少为多大才能使系统正常工作的概率不低于0.95.解：即为冏个部件中正常工作的个数，（凡 0.9）E （力二。94 D （X）=0.0%,由中心极限定理工169力近似服从（0,1），JO. 09 力所以系统能正常工作的概率为X n /X_ 0.9冏、0.8冏- 0.9同、P （X0.8用=P（.）,0.09 甩JO. 09冏日1 一（一四二（匹33由（逝）0,95, 1,645,24,354,33冏至少为25.72

7、六(8分)1.设X1, X?,.,Xio是来自总体XN(0,0.3 )的样本，试求统X 丫计量所服从的分布(写出分布和自由度，并说明理由).2.设总体XM0,02),。20, .X,X2,X16为来自该总体的样本，令2Y =，其中X=1X试确定常数C,使C服从户分布,并指出自由度./.解：因为 XM，032)，/ = 1,X,10,N (0,1), i=L ，10,0.31()(X )服从才2分布,且X, X,，Xo相互独立，由力2分布的定义可知I/=AO.3J自由度为10.162.解：由于X”X2,乂6相互独立，且都服从正态分布N(0q2),所以Xj服从/=116、X分布NQS)，服从分布N

8、Q1),4a16i=l4a服从分布了2(1).-2- 22同时，由于(XX) ” = (16-1)_2(*厂必)=(16-1)，1=1*XX)2 (小西16o22(72服从分布z (15).利用X与S的独立性，可知i=lX-X)2I 4-1 15T152(J15X b- 16 y16, x(Xf - / 服从F分布，自由度为15,其中C=15/16.七(16分)1 .设总体X的分布律为X 012Pi a22a(l-a) (1-a)2其中砥0 a 26.724,问该检验犯第一类错误的概率为多少？解答：（1） Ho： a2=42, H： （y242,Q C2当Ho成立时有 丁2（8）牛于是检验的拒绝域为u/ 18s228s22彳- Za/2（8）查表得 Zo.95（8）= 2.733,Zo.O5（8）= 15.507 ,计算得阴丝史= 18 65074216于是拒绝”o,认为经过5年贮存后该种炮弹炮口速度的方差有变化。（2）给定Ho： a2=42, Hi： c242,针对拒绝域W=群26.724,犯第一类错误的概率为P（拒绝 Ho|Ho 成立尸 P（S226.724|a2=42 P（与8 x 26.?24）4-168s2=P（不13.462） = 0.10 o#