2022年IMO中国集训队第四次测试试题.docx

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IMO2022年中国集训队第四次测试试题第一天1、将nXn的方格表染为红黄蓝三色.每轮同时对所有方格进行操作: 对于一个红色格子，若存在一个黄色格子与它有公共边，则它将改染为黄色； 对于一个黄色格子，若存在一个黄色格子与它有公共边，则它将改染为蓝色； 对于一个蓝色格子，若存在一个黄色格子与它有公共边，则它将改染为红色；已知在若干轮后，方格表变为同色，证明：在不晚于2n-2轮后方格表已全部同色。2、已知凸四边形ABCD,点I, J分别为ABC, 4ADC的内心。已知AC, BD, IJ共点于P,过点P作BD的垂线，分别与NBAD, NBCD的外角平分线交于点E, F.证明：PE二PF。3、求所有函数f： R-求使得对任意x.yWR,可重集f(xf (y)+l),f(yf(x) -1) 与可重集xf (f(y) +1, yf (f (x) -1相等。第二天4、求所有的正整数(a.b, c)与素数p。使得2a+pJ(p+2)+l。5、给定正整数n, x” x2,xzn为和为4的非负实数。证明：存在整数p、q, OWqWnT,使得qxp+2i-ll，X Li=li=q+l6、给定正整数n。D为n的正因子的集合，D的子集A.B满足:对任意aA. bB.a + b, b + a。证明：河+侗工啊。