解析几何中的最值问题.docx

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1、解析几何中的最值问题【教学目标】知识与技能：1能够根据变化中的几何量的关系，建立目标函数，然后利用求函数最值的方法求出某些最值；或者列出关于目标量的不等式求出目标量的范围.2.能够比较熟练地应用数形结合的思想，结合曲线的定义和几何性质，用几何法求出某些最值.过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。情感、态度、价值观：培养学生辩证唯物观，体会事物在一定条件下可以相互转化。重难点：建立目标函数，寻找恰当的解法【方法指导】建立目标函数，运用函数求最值的思想.列出目标量的不等式，解出目标量的范围.根据问题的几何意义，运用“数形结合的思想”求解.【考点检测】设FCcf0)是椭圆j+

2、5=1(ah0)的一个焦点，直线/经过原点与此椭圆交ab于A、B两点,则面积最大值为be.分析：设A(XQi)Kjm)则SMBF=Sop+SABOF=I,。I)1I+5CI%I=C-Iy1=bc.评注：将三角形分割成两个同底等高的三角形，且两个三角形的底都为定值，此时，很容易就能建立函数关系式进行求解.2.P是椭圆片+21=1上的点，闩、尸2是焦点,设Q1P尸川尸产21则的最大值与最小值43之差为1.法一：(用焦半径公式)设P(XO,为)，由题意知。=2,c=1,e=g则=(2+x0)(2-0)=4-i.2x02,.n1ax=4,Knin=3max一Zmin=1法二：(用第一定义)PF1+PF

3、2=2a=4,.PF2=A-PFi.k=PFi(4-PF1)=-(PF1-2)2+4.(1-耳3)max=4,ZInin=3,1axnin=1评注：此题主要运用了函数求最值的思想.此题也可用两点间的距离公式将A表示出来，再将J换成x.3 .已知椭圆器+/=1,则x+y的最大值5法一：(线性规划)令=x+y,则y=x+y=-x+a由入22=25/-326+16(/-9)=01169令=(),得=5,所以(x+y)max=5法二：(参数法)令x=4COSa,y=3sin2,贝Jx+y=4cosa+3sin=5sin(+0)所以(x+),)max=5评注：此题可由“X+/联想到线性规划，进而可用数形

4、结合的思想来解题.X2y24 .已知椭圆一+乙=1内有一点尸。,一1),尸为右焦点，椭圆上求一点M,1612使IMP1+2M用的最小，最小值为7.分析：a=4,b=2-73,c=2,右准线x=8,e=,2:.MP+2MF=MP+MN,因此M,P,N三点共线时，+2M/有最小值为7.F1IF布M变式训练：若求MP+M的最小值呢？分析：由定义知MF=2。M,所以MP+Mb=MpM+2所以，当M,P,耳三点共线且点M位于第四象限时(MP+MF)min=-P+2评注：此题主要考查了椭圆的第一、第二定义的应用，及用数形结合求最值的思想.【热点分析】例题：已知点A(3,0)、8(0,4),动点P(x,)，

5、)在线段AB上，求：(1)x+y的最小值；(2)V+y2的最小值；I,jBkPx2+(x-3)2+(y-3)2的最小值.解：(1)法一：(函数的思想)线段AB的方程为y=gx+4.(0x3)S一a所以x+y=-x+4,因此3+y4,故(+y)nh1=3法二：(线性规划)令=+y,则y=-x+o,将直线在可行域内平移可得最小值为3.(2)法一：(函数的思想)2225/48、2144mz,22、144f+y=-()所以(%+N濡=W法二：(数形结合)X2+y2表示原点。到点P的距离的平方，作OH上AB于点H.则(/+)Am=丽=詈(3)令0(0,0),M(3,3),则JX2+y2+J(x3)2+(

6、33)2表示点P到0、M的距离之和所以O、P、M三点共线时，有最小值为OM=3j.评注：解析几何中有些表达式具有明显的几何意义.如：XtV可转化为截距；*2+),2可转化为距离；(j+2)/UD可转化为斜率.变式训练1：A,B,P同上，求Jx2+y2+J(-1)2+(y-1)2的最小值分析：令M(1,1),如图作M关于直线AB的对称点M,则尸O+EW=尸O+尸M所以(P。+PM)min=OM变式训练2：在直线/：Xy+9=0上任意取一点P,经过P点以椭圆C：焦点为焦点作椭圆E.(1)P在何处时，E的长轴最短？(2)求七长轴最短时的方程.方法一：(数形结合的思想)耳(一3,0),居(3,0),作

7、F1关于/的对称点k(-9,6)则2a=PF+PF2=PF+PF2所以尸,尸,巴三点共线时，(2)1in=K6=6j.方卜的X+Zy3=UXy-此时，由4,得尸(5,4),同时可得椭圆方程为一+J=1方法二：(不等式的思想)x-y+9=04536得(2a2-9)x2+18a2x+90a2-a4=0a40得。3j,所以(2a)rnh1=66，X2P2将。代入（）得尸（一5,4）,椭圆方程为7+J=1.4536评注：此题主要考查了数形结合求最值与不等式求最值的思想.在解析几何中利用列不等式是隐含条件，要引起注意.【课堂练习】如果点（x,y）在圆（工一3）2+丁=4上运动，则之的最大值为【课堂小结】本节课我们主要讲了解析几何中求最值的三种常用思想，建立目标函数，运用函数求最值的思想；列出目标量的不等式，解出目标量的范围；根据问题的几何意义，运用“数形结合的思想”求解.其中优先考虑“函数的思想”和“数形结合的思想”,最后再考虑“不等式的思想”.