圆锥曲线的第三定义.docx

《圆锥曲线的第三定义.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线的第三定义.docx（11页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、锥曲线的第三定义及运用一、椭圆和双曲线的第三定义1.椭圆/2在椭圆C+R=1(qAbAO)中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若%、kp1i存在,则有：kpA.kpB=e2-1=72Z?2证明：PAB的PA边所对的中位线MO,M1,由点差法结论：3/*下知此结论成立。2.双曲线y2在双曲线C/一记二1中,A、B是关于原点对称的两点,P是椭圆上异于A、B的一点,若即八、kPB存在，则有：kpakpB=e?-I=F证明：只需将椭圆中的从全部换成-从就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。二、与角度有关的问题例题一：已知椭圆C*=1(h0)的离心率e=y,A、B是椭圆的左右顶点，为

2、椭圆与双曲线5一4=1的一个交点，令NPAB=,NAPB巧,则一CFB整78cos(2+p)W：令BX=，由椭圆第三定义可如tantany=e1=qCoS0cos(-)coscosa+sinsina_1+tanatan/_3cos(20+S)cos()coscosa+sin/sina1-tancrtan/5点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩卜.的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点变式1-1：(石空中学2015级商二下4月18日周末作业)已知双曲线C：/

3、一丫2=205的左右顶点分别为人、B,P为双曲线右支一点，且NN=4NA依，求ZPAB=.W：7TT令NpAB=0,-,ZPBA=w0,彳,则=5,由双曲线的第三定义知:tanatan7=tanatan5a=5a=a=tan50I2)212点评:与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表示Sina=cos,CoSa=SinBn两角互余仝，则可解出C1的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。三、与均值定理有关的问题22例题2:已知A、B是椭圆+方=1(”0)长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于X轴对称的两

4、点,直线AM、BN的斜率分别为k、内,且2工。若网+网的最小值为1，则椭圆的离心率为-解答一（第三定义+均值）:由题意可作图如卜连接MB,由椭圆的第三定义可知：kAMkBM=e21=,而心的二一既火==raa同+Zj2#J而吟=Ing=gne=*解答二（特殊值法）：这道题由于表达式（同+1I1T非常对称，则可直接猜特殊点求解。周二I周=；时可取最值，则M、N分别为短轴的两端点。此时：IM=网|=3=；=6=亭。点评：对于常规解法，合理利用M、N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”，又构造了“二定”，利用均值定理“三相等”即可用a、b

5、表示出最值1。当然将以Ne1前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法相同，即变式2-1变式21:已知A、B是椭圆+*=1（-匕-0）长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于X轴对称的两点，直线AM、BN的斜率分别为占、k2f且2。若返同+2虚间的最小值为1,则椭圆的高心率为.2j2连接MB,由椭圆的第三定义可知%*-丁而*,二-3直同+2闺&I4屈向=曰=1=g=；=e=变式22:已知A、B是椭圆m=1（-b-0）长轴的两个端点,若椭圆上存在Q,使NAQB=T，则椭圆的离心率的取值范围为.解答一（正切+均值）：令Q在X轴上方，则直线QA的倾斜角为0,|,直线QB的倾斜角为/

6、W,j2由椭圆的第三定义：tanatan=一一7,则tan=一ab2a2tana带入可得:b2tan,an,二加口0Tanab2ka2tana、+tana)1+tantana41-且a2-2.-3tan02.Crtanaa_Tab1户1一屋1b2a2-b21一屋（取等条件：tana=，即Q为上顶点）.而tanx在一，乃22单增，则Q为上顶点时（NAQ耿皿,所以此时NAQ3乃，故e解答二（极限法）：当Q趋近于A、B两点时，ZAQB（此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆弧，NAQ8相当于直径所对的圆周角）；当Q在A、B间运动时NAQB（Q在以AB为直径的圆内部，ZAQB直径所对的圆周角=

7、90）,由椭圆的对称性可猜测当Q为短轴端点时由于：椭圆上存在Q,使NAQ8=w,那么Q为短轴端点时（NQ8）may取临界情况,即Q为短轴端点时NAQB=?，此时f=J=e=W;当椭圆趋于饱满（e0）3b3时，椭圆趋近于圆，圆的直径所对的圆周角永远为90,不满足；当椭圆趋于线段（e1）时，（ZAQ3）max-乃，满足0故e孚,1）当然这些只需要在头脑中一想而过，简洁而有逻辑。点评：这道题可以增加对于圆周角的理解，在用极限法讨论：“当Q趋近于A、B两点时，ZAQBn时能会颠覆“NAQ8f；r”的认知，当然这肯定是错的，结合常规解法可以看出此时是角最小的情况，而不是角最大的情况。要搞清楚，不然会被弄

8、晕的。对于常规解法选择正切表示角的大小的原因有二：与第三定义发生联系tanx在y,单增便于利用tanx的大小比较角度的大小。四、总结归纳1 .上述部分题目的常规解法较复杂，但做题时一定要能猜答案，而且要猜得有理由。2 .对于均值不等式，注意取等条件是“三相等”，即相等时取最值。这可以帮助猜测表达形式是高度对称的式子的最值，如：例题23 .极限法可以刻画出单调变化的某一变量的端点值，如：变式2-2中P在椭圆上滑动，角度的变化一定是光滑的（无突变，连续），所以只需考虑边界值。4 .做几何的选填题时，有时利用圆周角定理可以很快的找到最大角，注意学会恰当运用，如：变式2-2o5 .常以正切值刻画角度大

9、小。6 .在做综合性较大的题目时要联系各种知识，灵活转化，以最巧妙的方法致胜。7 .8 .五、方法链接针对上文提到的“圆周角找徽大角与椭圆中另一类构值”进行拓展补充，各附例题。例题3:在平面直角坐标系XOY中，给定两点M(T,2)和N(1,4),点P在X轴上移动，当NMPN取最大值时，点P的横坐标为.解答一(正切+均值)：已知：M(T,2)、N(1,4),G：)=x+3与X轴交于(一3,0)74令尸&0),则：kMP=9ANP=厂一，/MPN=B当，=一3时，=0当1a-3时，/的的倾斜角较大，tan=，M；-k二铝1+Cp产+7当，-3时，1的倾斜角较大，tan=7p=-kMpkNp2+7x

10、=-(r+3)-O,则tan。=-2/+62x2ZZr2+7x2+6x+16-J6；-/!?,工+62jx-+6XNX(tan-0)此时x=4,/=-7,Ian(Oa),由于60,),且tan。在。0,乃)上单增，tan60,1=p此时f=1解答二(0周角定理)：由于4n：y=x+3是过M、N两点的圆的一条弦，由垂径定理知圆心在/：y=-x+3随着圆心横坐标从0开始增大：当半径r较小时，网与X轴无交点；当半径稍大一点时，圆与X轴相切，有一个交点；当半径更大一点时，网与X轴有两交点P3、P4。此时：根据同周角定理：NMAN=NM6N-ZMQN=ZMP2N,可知：圆与X轴相切时,(NMZW)max

11、。R较小的情况(圆与X轴相离)R较大的情况(圆与X轴相交于P3、P4)所以：过M、N的圆与X轴切于P3、P,点时，分别有(NMPN)max=只需比较NMqN与NMN,哪一个更大。令与X轴相切的圆的圆心为(Xy),则切点尸(0),半径为y(x+1)2+(1y-2)2=y2圆满足：，.=厂-6x+7=0=x=-7。川(消去y)1(x-1)-(y-4)2=/比较可知：当=1时，(NMRV)max点评：常规方法依旧是利用正切度量角的大小，但注意用倾斜角表示所求角时要用大角减去小角，才能得到正角；均值时要注意以分子(一次)为新元构建均值。用圆周角角的性质解答，只要转化为切点，解一个方程组，比较两个角谁大

12、就行了。(不比较也行，画图可知右边角大于左边角：弦长相等，半径越大，弦所对的同周角越小。)其实两种解法的难度是一样，只是一种要写得多，一种要想得多。变式3-1:若G为AABC的重心，且AG_1BG,则SinC的最大值为解答一(余弦定理+均值)：令G(0,0),A(a,0),B(0,b),则由C(-d,-Z?)%=5(%+)%+%)由点间的距离公式：网=77P,IACI=J4/+6,忸q=j02+4/由余弦定理：cosC=AC2+BC2-AB2_(46f2+Z?2)+(6f2+4/?2)-(6r2+z?2)4(/+Z?2)2ACBC2，(4/+刈)X(.+4.)-2)2J(4/+/)X(/+4.

13、2)(4a2+Z72)(2+4Z?2)由于：4ab=J(4/+q)x(q2+折)(2+Z?2)433.cosC-OsinC-(sinC)=55v/max5解法二(圆周角定理)：令A(T,0),6(1,0),G(SinaCoS6),则C(3sin6,3cos。)题目转化为：A(-1,O),B(1,O),Ca,，)满足：x2+r=9,求SinC的最大值。目测可知C(0,3)时，(NABC)皿，下面以C(0,3)来证明。过A(TO),6(1,0),C(0,3)作圆O：若C不在C点，令AC交圆O于Q点。由圆周角定理：ZACB.NAQB=NAC8证得43此时由余弦定理.(cosC)nin=-(sinC)

14、ma=I点评：可以说这道题与例题3有异曲同工之妙，直观感觉加上圆周角定理可以说是画几个圆就解出题了。其实余弦函数在0,句单调，也可用来度量角的大小。不过更值得一提的是两种方法以不同的方式，间接地表现了题中点的关系，设点的方式值得思考领悟。解法一照顾垂直结论，把重心放在原点，利用重心的坐标很好地刻画了C点的坐标；解法二联系网的直径所对圆周角为直角表示垂直条件，以同样方式刻画C点的坐标。两种方式都完全的展现了题目中的关系。例题4:(对椭圆用均值)：过椭圆去+=1(A匕1)上一点P引圆O：/+y2=i的两条切线PA、PB,其中A、B为切点,直线AB与X轴、y轴分别相交于M.N,RJOMN面积的最小值为.解答：设P(%,%),P点满足冬+其=p2唇其二生件O1Wb“aNba-ab2P(Ao%)在圆外，则圆的切点弦方程为：v+yoy=1-1,1f,-1)IyjS3w=IMon=*点评:解法巧妙，很难想