数列求和的各种方法.docx

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1、效列求和的方法教学目标1 .熟练掌握等差、等比数列的前项和公式.2 .掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3 .能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.教学内容知识梳理1.求数列的前项和的方法(1)公式法等差数列的前项和公式S尸幽山=师+巫9小22等比数列的前项和公式(I)当q=1时，Sn=na；()当它时，s=gj=爷等-q1q常见的数列的前n项和：1+2+3+n=。,1+3+5+.+(2n-1)=n2122232+I)”),p+23+33+等612(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法

2、把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩工直尾若干项.(4)倒序相加法这是推导等差数列前项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.(5)错位相减法这是推导等比数列的前项和公式时所用的方法，主要用于求斯儿的前项和，其中小和仍分别是等差数列和等比数列.(6)并项求和法一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如如二(-1)类型，可采用两项合并求解.例如，5n=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.2.常见的裂项公式(+1)n+1;(3

3、)(2n-n1)-2-12wI);(+1)(+2)2(+1)(+1X+2)(5不吊昌昕).(6)设等差数列%的公差为d,则一j-一一-).心+1aa%+数列求和题型考点一公式法求和1 .(2016新课标全国I)已知“是公差为3的等差数列，数列4满足岳=1,岳=/anbft+bn+=nb1h(1)求小的通项公式；(2)求瓦的前项和.2 .(2013新课标全国,17)已知等差数列诙的公差不为零，0=25,且苗，,03成等比数歹J(1)求%的通项公式：(2)求047.-2.变式训练1 .(2015四川，16)设数列“(=1,2,3,)的前项和S满足S.=20-m,且,公+1,成等差数列.(1)求数列

4、斯的通项公式；设数歹出)的前项和为Tnf求Tn.2 .(2014福建，17)在等比数列%中,s=3,5=81.求an(2)设bn=oan,求数列d的前项和Sn.考点二错位相减法1 .(山东)已知数列见的前项和Sn=3+8,也是等差数列，且q=a+b,2 (I)求数列的通项公式；3 .(2015天津，18)已知数列斯满足m+2=夕斯(夕为实数，且行1),N,a,=1,a2=2f且&+。3,的十。4,火+。5成等差数列.(1)求4的值和4j的通项公式；(2)设乩=12g,nN,求数列瓦的前项和.C12n-变式训练1.(2014江西，17)已知首项都是1的两个数列为,4(bn0,N*)满足斯+4“+

5、24+1瓦=0.(1)令金=器求数列金的通项公式；%若bn=3nif求数列小的前项和Sn.2 .（2014四川，19）设等差数列伍的公差为d,点3，S）在函数40=2的图象上（WN*）.若41=2,点（。8,4岳）在函数段）的图象上，求数列的前项和S”；（2）若0=1,函数火X）的图象在点（G，岳）处的切线在X轴上的截距为2木，求数歹j的前项和7小3 .（2015湖北，18）设等差数列斯的公差为d,前项和为5，等比数列与的公比为夕，已知历=,历=2,q=d,Sio=IOO.（1）求数列q,九的通项公式;（2）当办I时，记c=t1,求数列金的前n项和Tn.4 .(2015山东，18)设数列%的前

6、项和为Sn.已知2Sn=3+3.(I)求“)的通项公式；(2)若数列d满足。油=1og3m,求儿的前n项和Tth5 .(2015浙江，17)已知数列斯和瓦满足=2,6=1,a+i=2a“(eN),+如+*+=MH-(nN).求为与儿；(2)记数列0,5的前项和为Tn,求Tn.6 .(2015湖南，19)设数列m的前项和为Sf,已知0=1,&=2,且a“+2=3S-St+i+3,N*.(1)证明：4“+2=3斯；求Sn.考点三分组求和法1(2015福建，17)在等差数列4中，g=4,o4+7=15.(1)求数列为的通项公式：(2)设bn=2%-2+，求-+岳+庆+瓦。的值.2.(2014湖南，1

7、6)已知数列m的前项和工=”一，N*.(1)求数列B的通项公式；(2)设仇=2%+(-1),求数列仇的前2项和.变式训练1.(2014北京，15)已知知是等差数列，满足=3,O1=I2,数列仍满足加=4,d=20,且仇一为为等比数列.(1)求数列%和儿的通项公式；(2)求数列/力的前项和.考点四裂项相消法1.(2015新课标全国I,I7)S为数列小的前项和.己知。0,a2=4S3.(1)求小的通项公式；(2)设与=一，求数列仇的前项和.4“。+12.(2011.新课标全国，17)等比数列斯的各项均为正数，且2+3s=1,肩=9公拆.(1)求数列小的通项公式；(2)设b,1=1og31+1og3

8、2.+ogya,1,求数列尚的前n项和.3.(2015安徽，18)已知数列斯是递增的等比数列，且m+4=%gs=8.(1)求数列。的通项公式；(2)设S为数列传的前项和，A=黑工，求数列(仇的前项和+1变式训练1.(2013江西，16)正项数列斯满足：ai(2n1)an2n=0.(1)求数列斯的通项公式时;(2)令bn=(,11.,求数列九的前n项和Tn.HI1/C1n2 .(2013大纲全国，17)等差数列斯中，。7=4,9=2a9.(1)求如的通项公式；(2)设儿=今，求数列。的前n项和Sn.3 .在数列如中，1=1,当22时，其前项和S满足晓=小(5一，.(1)求S的表达式；设儿=5求仍

9、的前项和Tn.考点五倒序相加法已知函数/)=不&(XeR).(1)证明：KV)+川一%)=去(2)若5=/局将)+贝京g)+1|猎，则S=变式训练411220141 .设兀0=正工，若s=y(而而)+了而)，则S=.考点六并项求和1.(2012新课标，16)数列小满足+(1)%=2一1,则仅“的前60项和为.2 .(2014山东，19)在等差数列3中，已知公差d=2,G是卬与8的等比中项.(1)求数列斯的通项公式；(2)设设=%),记嘉=一小+小一力3+己一.+(y求变式训练1 .(2014山东理，19)已知等差数列m的公差为2,前项和为S”且$,Sz，成等比数列.(1)求数列仅的通项公式；(

10、2)令儿=(一1尸一,求数列也的前项和Tn.a,tan+12 .(2013湖南，15)设S”为数列%的前项和，S.=(T)%今，N,贝J:43=；(2)S+S2+SOO=.考点七数列kM的前项和问题1.（2011北京，11）在等比数列斯中，若=今火=一4,则公比1；+02+.1=变式训练1（2013浙江，19）在公差为d的等差数列斯中，已知0=10,且0，23+2,56成等比数列.求d,小；（2）若d0,求IaI1+s1+Is1+.+MJ考点八周期数列1.已知数列2008,2009/，-2008,-2009,.这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之

11、和52014等于（）A.2008B.2010C.1D.0变式训练1.（2012福建）数列小的通项公式斯=COS詈，其前项和为Sn,则S2o2等于（）A.1006B.2012C.5O3D.0考点九数列与不等式的应用1. （2014新课标全国,17）已知数列m满足4=1,an+=3an+1.（1）证明上”+丑是等比数列，并求为的通项公式：1 113（2）证明一+.+.yjaazan22 .（2015浙江，20）已知数列伍”满足m=；且狐+=一忌5N*）.证明一乞42（EN）;(2)设数列届的前项和为S，证明：-1)条7(1)5N*)./f1I*f1I1)3 .（2013江西，理）正项数列a的前项和

12、a满足：-（川+-I）S“-（，/+）=0（1）求数列arJ的通项公式an；（2）令或=2,数列bn的前项和为7；。证明：对于任意的N,都有（6（k+800?若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.29I22 .(2013广东，19)设数列az,的前几项和为S.已知=1,=an+-jn1-n-ynN*.(1)求S的值；(2)求数列斯的通项公式；(3)证明：对一切正整数小有aIu2C1n”33 .(2013天津，19)已知首项为E的等比数列的的前项和为SSN),且一252,S3,4S4成等差数列.(1)求数列%的通项公式；113(2)证明S”+w去(N*).4.(2014广东，19)设各项均为正

13、数的数列诙的前项和为Sn,且S满足S5一(小+-3)S一3(r+)=0,N.求a的值；(2)求数列匕的通项公式；(3)证明：对一切正整数，有一(：、+(+.+f1,1.a(+1)aan3答案考点一公式法求和1.（2016新课标全国I）已知”是公差为3的等差数列，数列九满足b=1,岳=；，anbn-bnw=nbn.（1）求斯的通项公式；（2）求4的前项和.【解析】试题分析：（I）用等差数列通项公式求；（ID求出通项，再利用等比数列求和公式来求。试题解析:由已知,他+与=J4=1也=指得他+4=4,4=1也=最得。1=2,所以数列4是首项为2,公差为3的等差数列，通项公式为&=3/2-1（in由和。A+如=也，得如=?,因此是首项为b公比为;的等比数列.