图形与几何——三角形的四心公开课.docx

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1、BAEC思路点拨：设ODFOE=y,则由重心性质有：AO=2xfBO=2yf建立尤J的方程组.例2如图，已知点/是锐角三角形443C的内心B1fG1分别是点/关于边BC,CA,AB的对称点，若点8在44BC的外接圆上，则4ABC等于（）.A.36B.45C.60D.90思路点拨：由1二历尸6二2（r为AABC的内切圆半径）,得/是B1CI外接圆的圆心.【例3】如图，己知44。七二2。90,点8在（;上,。4=。8=8,过A,C。三点的圆交A3于点尸,求证：F为ACDE的内心.思路点拨：连CEDF,即需证尸为aCDE角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明.【例4如图4

2、氏8CCo分别与圆相切于EEGAB=BC=CD,连接AC与8D,相交于P点,连接PE求证：PFJC.B素养培优数学03图形与几何三角形的四心重心、外心、内心、垂心统称为三角形的四心，由于三角形的四心处在特殊的位置上,因而它们具有丰富而独特的性质，这些性质是解与四心相关问题的基础。1. 童心三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,如图，设G是AABC的重心,则SABGCSXAGCSbABG7SkABC2. 外心三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心,如图，设。是AABC的外心，则OA=OB=OC;BOC=2BAC,ZAOC=2ZABCfAOB=2ACB.3. 内心三角形三条内角平分线的交点叫三角

3、形的内心,如图,设/是AABC的内心，则/到三角形各边距离相等；ZAB=90+-ZACB.2BC=90+izBAC,ZCM=90+ZABC,4. 垂心三角形三边高所在直线的交点叫三角形的垂心，如图,设是ZV1BC的垂心，则(I)AHJjBCfBHJAC,CHJABtA,FtHfE；B,DfH,F;C,E,HfD;CfEfF;CfAfFfD；AfBfDfE共六组四点共圆.【例1】如图，AABC中，BC=a,AC=b,AB=c.若AeBC上的中线BE,A。垂直相交于点O,则c可用atb的代数式表示为.2 .如图2,。是4A6C的内心，E是ZA8Q的内心，F是ABDF的内心,若/BFE的度数是整数，

4、则ZBFE的最小度数为.3 .如图3,从圆外一点尸作。0的两条切线,P氏连A8,PO,设尸。交。于点C,则C点、是AABP的心4 .（中考题）如图4,在RtZA8C中，/6=30,点。是4ABC的重心，连接C。并延长交AB于点E,过点七作EFAB交3C于点尸，连接A尸交CE于点M,则的值MF为（）A.iB.在C.-D.324335.（中考翘）如图，在RtAABC中，ZABC=90o,AB=6,6C=8,ZSAC,/ACB的平分线相交于点E,过点E作ER在。交AC于点F,则EF的长为（）R思路点拨：设圆心为O,证明。是APBC的垂心，则尸OC,由切线性质得：Po一定通过切点E(三角彩的四心应用体现在：外心、内心与圆相关；垂心常用来判定四点共圆及构造相似三角形;而常运用重心作相似变换.)【例5】如图，己知RtZkABC中，CO是斜边48上的高，。，01，02分别是aABC,AC。，ABCD的内心.求证：(1)O1O1CO2(2)OC=O1O21如图1,048CO中，E是AB的中点48=10*09,0=12,则146。的面积.A图1图2