课时规范练43 空间向量及其运算.docx

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1、课时规范练43空间向量及其运算基础巩固组1.设za,b,c是三个非零向量图:a,b,c为空间的一个基底,则P是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:B解析:当非零向量a,b,c共面时,a,b,c不能是空间的一个基底;若a,b,c为空间的一个基底,则a,b,c一定不共面,所以a,b,c一定是非零向量.因此P是4的必要不充分条件.2.己知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且ab=3,则向量a与b的夹角为()A.B.-C.-D.-6336答案:DT：Vab=x+2=3,.*.x=1,b=(1,1,2),cos=-=3=也.又W0,回I切262a与

2、b的夹角为2.63.(2023陕西宝鸡渭滨模拟)已知P为空间中任意一点AacD四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且刀=PB-xPC+:而,则实数X的值为()36A.-B.-C.-D.-3366答案:B解析:同=-PB-xPC+-BD=-PB-xPC+-(PD-PB)=-PB-xPC+-PDy363626由题意,需乙+11,解得X二上2634.(2023天津西青模拟)设XjR,向量a=(x,1,1),b=(1j,1),c=(3,63),且aJ_Gbc,则a+b=()A.10B.3C.4D.22答案:B解析:因为a_1c,所以3x-6+3=0,解得x=1,所以a=(1,1,1).因为bc,所以

3、工=工,解得3-63y=2,所以b=(1,-2,D,所以a+b=(2,-1,2),所以a+b=J22+(-1)2+22=3.5.(2023安徽六安一中月考)已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,a=1,b=2,c=7,则a与b的夹角为()A.-B.-C.-D.-6432答案:C解析:设a与b的夹角为。.由a+b+c=O,得a+b=-c,两边平方,得a2+2ab+b2=c2,1+212cos9+4=7,解得CoS。弓,又90,兀,所以。三.6 .己知空间四边形ABC。的每条棱和对角线的长都等于尸分别是8C,AD的中点,则荏标的值为()A./B.C.-a2D.a2244答案:C解析：此空间四边

4、形是一个正四面体,所以荏.而=久而+宿q而=X而.而+KCD)=i(a2cos60o+/cos60o)=%?.故选c.7 .(2023浙江镇海中学模拟)已知空间三点A(-2,0,8),尸(见?,加),3(4,-4,6),若向量瓦?与丽的夹角为60,则实数?的值是()A.1B.2C.-1D.-2答案:B解析:.A(2,0,8),P(九团n),3(4,-4,6),PA=(-2-m,-m,S-m),PB=(4-m,-4-,6-m),小口布宓七s。PAjPB3m2-12m+40超爸COSpapb3m2-12m+683mz-12m+68,即3m2m+68=32.12zzz+40,整理得团24m+4=0,

5、解得m=2.8 .(2023山东荷泽一中月考)已知空间四边形QABC各边及其对角线。8,AC的长都是6AM=2MBfMG=元,而=赤+)笳+z沅,则x+y+z=,OG的长为.答案：15解析:空间四边形OABC为正四面体,717171OG=OM+MG=0A+-AB+-MC=0A+-AB+i(MAC)=0A+-F+i3232、,32+iC=0A+-AB+-AC=0A+-(OB-OA)+-(OC-0A)=0A-OA-32323、72v73-OA+-OF+-OC=-OA+-OF+-0Ci.x+y+z=.232632,OAOB=OAOC=OBOC=66cos60=18,0G2=OG2=(-04+-OF+

6、-0C)2=-02+-OF2+-OC2+-70F+-00C+632369496-OFOC=-36+i36+i36+i18+i18+-18=25.33694963所以I而=5.9.如图,已知OABCDEFG”为空间的9个点,且赤二版,而=而瓦丽=而五尤=AD+nABfEG=前+机厢,七0,点),求证：(I)A,B,C,O四点共面,瓦匕G,“四点共面；(2)/I1EG-(3)0G=kC.证明:AC=AD+mAB,m01A,B,C,D四点共面.VEG=E+%EF,m0,.E,EG,7/四点共面.而=EH+mEF=OH-OE+m(F-OE)=k(OD-OA)+km(B-OA)=kAD+kmAB=k(A

7、D+mAB)=kAC,ACHEG.(3)05=0E+EG=k0A+kAC=k(0A+AC)=kOC.综合提升组10.己知点A(1,2,1),8(1,3,4),O(1,1,1),若而二2而,则I而I的值是.答案呼解析:设Pa,y,z),则AP=(x-1,y-2,z-1),PF=(-1x,3y,4-z).由而二2万,得点尸坐标为(J1,3).又O(1,1,1),I而|二?.11.(2023浙江宁波镇海中学月考)已知空间四边形48CO的对角线为AC与BnMN分别为线段ABcZ)上的点,满足宿=AB,DN=:尻,点G在线段MN上,且满足就二2就,若南二标+而+z而,则x+y+z=.答案?解析:正=病+

8、就=：南+：丽,又丽=丽一俞二而一:四，故E=AM+MG=N而+2(而一三肉)二2屈+3而,而而=而+而=而+33393工比=前十三(前一而)=工证+?而,所以刀=工荏+白(工尤+?而)=三通+44、74493449-AC+-AD.62A因为彳瓦北,而不共面，,I11故户/=萨=亍所以x+y+z=.12 .(2023山东临沂模拟)已知a=(1,1,0),b=(1,0,2),且依+b与2a-b的夹角为钝角,则实数k的取值范围为.答案：(心,2)U(-2,|)解析:由a=(1,1,0),b=(-1,0,2),a+b=(fc-12),2a-b=(3,2,-2),7所以/a+b)(2a-b)=3x(h

9、1)+2h40,解得ZVg若2a+b与2a-b反向,则a+b=A(2a-b)10,则富=2,所以g2.所以若履+b与2a-b的夹角为钝角,则Aq且k-2.综上人的取值范围是(g2)U(2,2.13 .已知正四面体A-BCO的外接球半径为3,MN为其外接球的一条直径,P为正四面体ABCD表面上任意一点,则丽丽的最小值为.答案：-8解析:设正四面体外接球球心为。,正四面体A-BCO的外接球半径为3,设正四面体A-BCO内切球半径为人一个面的面积为S高为hy则Va-bcd=4r=,所以h=4r,显然*+3=A=4/*,所以即IPO1min=1PMPN=(PO+OM)(PO+ON)=PO2+OM-ON

10、=P02-91-9=-8.创新应用组14 .(2023湖南师大二附中高三月考)给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算:ab.规定:ab为同时与a,b垂直的向量;a,b,ab三个向量构成右手系(如图甲)；IaXb1=Ia1Ib1Sin.如图乙,在长方体ABCD-A向CQ1中,A8=AD=2,A4=4厕下歹IJ结论不正确的是()图甲图乙A.ABAD=AAB.ABAD=ADABC.(AB+D)AA=ABAA1+ADAAD.长方体ABCD-ABCD的体积V=(AB而)CC答案:B解析:I近AD=ABADsin90=2x2x1=4,且标分另”与刀,而垂直,ABxAD=彳否,故A正确;由题意,而AD

11、=AAi,ADAB=石了,故B错误;AB+AD=AC,：.(AB+AD)AA=ACA4=2241=82,J1(F+AD)丽*与砺共线同向.ABA=241=8,FX丽*与万彳共线同向而X曲=2x4x1=8,而X标与荏共线同向,.|而X耐+而乂标|=8注,且存X比彳+而又初与丽共线同向,故C正确;(前ADyCCi=AA1-鬲=4x4XCoS0=16,故D正确.15.如图所示,PD垂直于正方形43CZ)所在平面/3=2,E为PB的中点,cos瓯族=今若以D4,0CoP所在直线分别为XMZ轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为.答案:(1,1,1)解析:由已知得D(0,0,0)4(2,0,0),B(2,2,0),设P(0,0,a)(o0),则从1,1,9,所以而二(0,0,0,荏=(-1,1),DP=4zJF=J(-1)2+12又cos丽荏=?,所以竺色丝堂=J8+23a-2-解得a2=4,即=2,所以E(IJ,1).