《导数-深度·夯基系列讲义》 导数的概念及其运算.docx

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1、导数深度夯基系列讲义夯基点1导数的概念及其运算、知识梳理1.导数的概念设函数），=段）在区间3份上有定义，且b）,若Ax无限趋近于0时，比值lim包醺一Ax=limAvf0Ar无限趋近于一个常数A,则称/（X）在x=M）处可导，并称该常limAttO数A为函数x）在x=xo处的导数，记作为（工）或即/（%）=lim电AtTOx/(x0+Zx)-/(x0)Ay注1：函数），=/（九）的导数/（X）反映了函数/（X）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|/（幻|反映了变化的快慢，|广。）|越大，曲线在这点处的切线越“陡注2：若函数y=/（x）在区间（小）内任意一点都可导，则/（x）在各

2、点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量工的函数，该函数称作/（X）的导函数，记作r（x）.2 .导数的几何意义函数fx）在x=xo处的导数/（%）的几何意义是在曲线），=/（X）上点p（xo,为）处的切线的斜率，过点P（x（），（）的切线方程为yy（）=f（xo）（xx（）.3 .基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)ra)=o(3a-2sinx0)=y/2f(x)=nr-1/(x)=sinxff(x)=cosxf(x)=cosXff(x)=-sinx/0）=优（40且工1）fr(x)=axInaf(x)=ex尸(x)=/(幻=108：(0且1)xna/(x)=

3、lnxfM =-X4 .导数的运算法则若(x),g(x)存在，则有：(1) /(X)g(x)r=f(x)gr(x);(2) (x)g(x)=7(x)g(x)+/(x)g(x)；W=iiwr,5 .复合函数的导数的导数等于)，对的导数与对X的导数的乘积.6.常用结论1 .奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数,2 .熟记以下结论：(1)0=一9；(2)(1中|丫=%(3)二、考点梳理考点一导数的运算1.求下列函数的导数 y一3135x2+6；(2=(2+3)(3/2)；(3)y=ev+cosx；(4)y=jdnx；(5=1082%一炉十二(6)y=ln(2x2+x)；(7)y=x-yl2x.

4、，周期函数的导数还是周期函数.!r=(x)2(/(X)。o)；/(X)/(X)2(2)复合函数尸加)的导数和函数尸)，=g(x)的导数间的关系为必=加以，即y对x一般地，对于两个函数y=)和w=g(x),如果通过变量小y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数丁=7()和=g(x)的复合函数，记作y=JgM).【解析】(1)，=(r5-3x3-5x2+6)/=(2)-(3x3)/(5x2)f+6=5/9/一10上(2)法一：y=(2f+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)/=4*3%-2)+3(2/+3)=18好8x+9.法二：y=(2%2+3)(3x2)=694、+9x6,，了=18

5、x2-8x+9.(3)y=(e)+(cosx)=evsinx.(4)yf=l-lnx+x-=lnx+1.(5犷=焉_2_&(6)设=2+%，则yj =%/=(lnw)z -(2x2+x)/=：(4x+l)=4x+l2x2+xy=a/2x-1+x(-/2x-1)z.先求/=后口的导数.设w=2x1,则1ylx-=yj2x+x3x 1tu=JM1-(2x-1)Zyj2x1 y2x.22. 7(x)=x(2018+lnx),若/(m)=2019,则刈等于()A.e2B.1C.In2D.e【答案】B【解析】/(x)=2018+lnx+xx-=2019+lnx,故由/(m)=2019,得2019+lnm

6、)=2019,则lnx()=.X0,解得x()=l.3. (2019宜昌联考)已知J(x)是函数r)的导数，於)=/(1)2，+/，则”2)=()12-81n2Al-21n2Rl-21n2Cl-21n2【答案】c【解析】2因为/（x）=/（l）2ln2+2x,所以/（1）=/-21n2+2,解得川）=匚而，所以）（%）=224l-21n22Un2+2x，所以/（2）=_2m2+2x2=2m?4 .等比数列斯中，。1=2,3=4,函数/）=x（九-ai）（x改）（x。8），则尸（0）=.【答案】2】2【解析】f（X）=X（%0）（x。2）（X-。8）+（141）（元。2）（X。8）式=（大0）。

7、一。2）（工。8）+（贡。1）（工一。2）Q-。8）式，所以/（0）=（。一。1）（。一。2）（08）+（。内）（。2）（0。8）卜0=01。2因为数列飙为等比数列,所以。2。7=。3。6=。4。5=41。8=8,所以/（0）=84=2%5 .设）a）=sinx,力0）=4（）,及。）=斤（力，加。）=启a）,WN,则怠）17。）等于（）A.sinxB.siircC.cosxD.cosx【答案】C【解析】x）=sinx,力（x）=/）（x）=（siiu）=cosx,力（x）=f（x）=（cosx）sinx,f3（x）=fi（x）=（-siar）z=cosx,力（x）=力（x）=（cosx）/=

8、sinx,.4为最小正周期，企()17a)=/i(x)=cosx.考点二导数的几何意义及其应用考同k求切线方程1曲线尸sinTK在点喏，。）处的切线的斜率为（A.B2D.【答案】B2 .已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为.【答案】:V/【解析】y=lnx的定义域为（0,+oo）,且y=J,设切点为Qo，In劭），则）%=.=；，切线方XA0程为）Llnxo=；（x沏），因为切线过点（0,0）,所以一lnxo=1，解得xo=e,故此切线的斜率为2C*3 .（2018全国卷I）设函数/（二丁+6.若/（可为奇函数，则曲线在点（0,（）处的切线方程为（）Ay=-2xB.y=-xC.y=

9、2xD.y=x【答案】D24 .已知曲线S:y=-九3+f+4x及点p（）,o）,那么过点p的曲线$的切线方程为.335【答案】y=4x或丁=后方考向2求参数5.设曲线产与等在点停,1）处的切线与直线工一0+1=0平行，则实数。=.【答案】a=-.右till.-1cosX71【解析】vy=r;-，）%=5=一1mi人乙由条件知：=-1，a=-1.6 .已知曲线y=x+lnx在点（1,1）处的切线与曲线=以2+（+2）犬+1相切，则=.【答案】。=8.【解析】由y=x+lnx,得y=l+：,得曲线在点（1,1）处的切线的斜率为攵=）心=尸2,所以切线方程为y1=2(x1),即y=2x.又该切线与

10、)，=2+3+2.+1相切，消去y,得/+如+2=(),且/=屋一8=0,解得。=8.7 .(拔高题)设曲线人幻二-eRe为自然对数的底数)上任意一点的切线为人总存在曲线g(x)=3or+2cosx上某点处切线心使得/1JJ2,则实数a的取值范围为.12【答案】WqW33【解析】因为/a)=-e-l,g3=3a-2sin/所以直线/h/2的斜率分别为k=-eXi-1=-(eA,+1),k2=3-2sinx0,因为/i所以(e+l)-(37-2sinx0)=-l,即3(3a2sin/)=,因为对任意的xR,有0二一1,故存在x0R，使得(婕+1)(a+1)1203-2sinxo1,即1-232,

11、BP一一a-33考向支求最值8 .在抛物线)，=一/上求一点，使之到直线4x+3y8=0的距离最小.【答案】g.4)【解析】如图所示，由题意知作与以+3)，-8=0平行的直线/,当/与y=-N相切时，切点尸到直线4x+3y8=0的距离最小.设切点为(xo,一看)，又_/=(一/y=-2x,2x()=Q,即抛物线），=工2上的点你一3到直线的距离最小.9 .已知点P是曲线y=nx上一点，求点P到直线，=l2的最小距离.【答案】V2【解析】过P作y=x2的平行直线，旦与曲线），=/mx相切，设PQo,另一In助），则Z=yIj一2|X()2x()一19，及)=1或M)=-5(舍去)，的坐标为(1/)，/dmin=/=y2.xo/yji+