导数中的不等式证明技巧.docx

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1、导数中的不等式证明技巧导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段命题角度1构造函数命题角度2放缩法命题角度3切线法命题角度4二元或多元不等式的证明思路命题角度5函数凹凸性的应用命题角度1构造函数己知函数f x 1”,g(x) aex 1 bx,若曲线y【典例1(赣州市2018届高三摸底考试)f x 与曲线y g x的一个公共点是A,且在点A处的切线互相垂直.(1)求。力的值;(2)证明：当x 1时，/ xg(x)【解析】(1) a b1;(2 ) g(x)1，/、2 .nxX

2、,f X g(x) rx 0 , ex x x e x In xexh x 112nx& I2 1 Imxex 9 x e x x e因为x 1,所以 X ln2X ， 10,x e所以力X在1.单调递增，/? x h 10,即1 Ex e, 1% 0,x e x所以当X 1时，f X g(x) 2.X【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.命题角度2放缩法【典例2(石家庄市2018届高三下学期4月一模考试)已知函数/ (X份0 a) (b 0),在(1,7( 1)处的切线方程为(e l)x e

3、y e 0.(2)若加 0 ,证明：/(x) mx2 x.【解析】。1, h 1；(2)由(1)可知/(x) (x 1)( 1) , /(0)0,/10 ,由z0 ,可得 x mx1 x ,令 g(x) x eK 1 x,贝！J g (x) x 22 ,当x 2 时，g (x)x 2 ex 22时，设h(x) g (x)x 2 ex 2,则 (x)数g(处在 2, 上单调递增，又g (0)0,所以当x,0 时，g ()，当 x 0, 时，g (x)0,所以函数g(x)在区间,0 上单调递减，在区间0,上单调递增，故 g(x) g()0 , BP x 1 e1 1 x mx1 x.故 f(x)

4、mx2 x.【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.【典例3(成都市2018届高中毕业班二诊理科)已知函数/ x xliu- or R.(1)当x ()时，若关于x的不等式/ x()恒成立，求。的取值范围；(2)当 N时，证明： In22 1/ . 11?一124 2 n n 1【解析】1,;(2)设数列 小,瓦 的前项的和分别为S” ，7；n ，则 2n 4n 1由于anSSn nS /r 112,解得 112；同理,bn2 721 1所以只需证明an In bnn 1 n 2 n n n 1由（1 ）知 a 1 时，

5、有 xln x x 1,即 In x A - .X令 xn _1 1,则 In _1 1 1 12n_所以In 2,n n 1n 1 n 2 n n 2111IIJvi Ia In 2 + ln + + lrT=：2/2 n +2 In +4再 il|：IIJ n: !亦即 In .；.（ + 1）/ JnyJn +1+ln Gxln + Ml 为 In * = 2 In_ +1- _ A7+iinjn + 1 Jn Jn + I所以只需讯:2hi!/l + 1手见 ill: RJ 2 In v 1）.V令人21nx x7贝I广2120 ,所以函数6x在1,上单调递减，h x所以当尢1时，21

6、nx x 恒成立,G1n n 1bn分别求前项的和，得n 223 in 1 nIn 2 In In24 2 n n 1【思路总结】待证数列不等式的一端是项之和（或积）的结构，另一端含有变量时.，可以将它们分别视为两个数列的前项的和（或积），从而将不等式的证明转化为两个数列的对应项之间的大小关系的证明.【典例4】（安徽省安庆市2018届重点中学联考）已知函数/ x 2,n 2.（1）求函数/ x的单调区间;（2）证明：当x 0时，都有f【解析】(1) / x 21 x xxn x令 g x 1 x xnx，则 g 1时，1 x 0, xln x 0 ,所以 g X0J %0 ,当 x 1 时，1

7、 x 0, xln x 0 ,所以 g x0,/X0,所以函数f在1, 上单调递减；在（）,1上单调递增,(2)要证明 / x In x 1。x In x 1xln令 g x 1 X xlnx，则 g x1 nx 1当0 x J时，g x 0,当x L时，g x 0 9 e e所以函数g X在 0,02上单调递增，在12,上单调递减，g X1 eh eli 1 elz,所以1 x xn x 11 2.e要 1 x xln x In x 11 J2 x,只需再证In x 1 x即可.易证Inx x 1 ,当且仅当天 1时取等号（证明略），所以0 In x 1 x,综上所述，当x 0时，都有f x

8、 in x 区 e 2.【思路点睛】对于含有Inx与e型的超越函数，具体解决时须根据两类函数的特点，挖掘结构特征,灵活变形，脑中有“形”，注意重要不等式hix x e x 1的合理代换.命题角度3切线法【典例5】（2018届安徽省太和中学三模）已知函数/ x e1（1）求曲线/ x在x 1处的切线方程；（2）求证：当 x 0 时，咨 2 e % 1 nx 1.x【解析】（1）f X e x2, f x e, 2x,由题设得/1e 2J 1 e 1,所以曲线/ x在x 1处的切线方程为y e1：(2)令 g x f x ,则 g xeb 2表示P a,b 与动点Q xjnx 的距离，而。x,nx

9、的轨迹是曲线y Inx, 2 ,当 x ln2 时，g x 0 ,当 xln2时，g x 0 ,所以函数g xx在 Jn2 上单调递减，在ln2, 上单调递增，g X min g ln2f ln2 2 21n20 ,所以函数/ xe x2 在 0,上单调递增，由于曲线/ X在X1处的切线方程为y2x1，/e 1,可猜测函数/ x的图象恒在切线的上方.先证明当X2x2 Jix2 ,当 x ln2 时.，h0 ,所以h x 在 0,ln2 上单调递减，在ln2,上单调递增,0,0ln2ln20Jn2使得hxo所以当xO,xo U 1,所以力在 O,xo 上单调递增，在 xo,l上单调递减，在1,上

10、单调递增.因为力0 h 10 ,所以h x 0,即/ x e 2 x h当且仅当X 1时取等号，所以当x 0时，X2 e 2 X 1,变形可得2Gxi x,X又由于x nx 1 ,当且仅当x 1时取等号（证明略），所以 2 e x Inx 1,当且仅当x 1时取等号.X【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题.命题角度4二元或多元不等式的解证思路【典例6】（皖南八校2018届高三第三次联考）若x,a力均为任意实数，且。2 2 b 3 ?1,则A1 8 C. 321,19 62【解析】由于。力均为任意实数，且。2 2b3 2 1

11、,所以动点P a,b到定点x a 2 liu- b 2的最小值为C 2,3 的距离为定值1,亦即动点PC 2,3 为圆心，半径r 1的圆，又如图，Md I del 1Pt I CQ 1,当且仅当C,P,Q共线，且点P在线段CQ上时取等号，以C为圆心作半径为一的圆与y Inx相切，切点是Q x,nx ，此时的公切线与半径垂直,1, B|J In x x 2 x y In x 与 y1 x 3 的图象可知Q 1,（），所以Ipgl I 6q I pt I CQ 3 2 1,故 x a 2hvcb 2的最小值为 322 J19 6 2 .正殿何案为D【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的

12、结构特征，结合多元各自变化的规律，转X化为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题.【变式训练】（2018年湖北省高三4月调考）设D2.71828,则 D的最小值为A.石 A 3 2143 1 J的距 V 1V【解析】由于 X a 22 a ?表不点p决6Q a,2 a 之间的号产PQ ,而点P的轨迹是曲线yQ的轨迹是曲线），2 4x ）， 0,如图所示，又点。到直线x 0的距离为。，自然想到转化为动点。到抛物线准线x离,2PF 1,当且仅当RQF共线,结合抛物线的概念可得Dx a 2 e1 2a 2I I I I Illi Illi I IPQ QH 1 PQ QF 1 ,所以。

13、 PQ QF又以尸为圆心作半径为，的圆与），式相切，切点是P,此时的公切线与半径垂直,即X 0 ,所以力凡ninJ故Dn- 2 1.正确答案为C【能力提升】（2018年廿肃省高中毕业班第一次诊断性考试）对于任意 0/ R,不等式nb am 1 2加恒成立，则实数的最大值为A. Je B. 2 C. e A. 3【答案】B.命题角度4二元或多元不等式的解证思路【典例7】（2018年安庆市二模）己知函数/x2 ax bnx，曲线 y f x1处的切线方程为（1）求实数。力的值;（2）设个零点,F x f求证：x x2 inx0 Xi X2分别是函数F的两XX20.1；【解析】(2) /X X2 X因为不温分别是函数产X的两个零点，所以芭x21 InXj lnx2 1要证明尸斥0,只需证1玉工2XX?思路一：因为0% %，只需证In* nx, -ryJxix2In 1x2，即证21m0.