专题04 导数及其应用（解答题） （教师版）.docx

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1、专题04导数及其应用(解答题)1.【2019年高考全国I卷理数】已知函数/(x)=SinX-In(I+x),/*)为/(x)的导数.证明：Tr(1)/。)在区间(-1,)存在唯一极大值点；(2)/(X)有且仅有2个零点.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】(1)设g(x)=(%),则g(%)=cosxg,(x)=-sinx+1+x(1+x)当x(-1g)时，g(x)单调递减，而g(0)0,g()0:当x(,)时，g(x)0所以g(x)在(Ta)单调递增，在(a,单调递减，故g(x)在(-吟)存在唯极大值点，即1(X)UT郛在唯.极大值点.(2)Jf(X)的定义域为(-1,+8).(i)

2、当x(-1,()时，由(1)知，/*)在(-1,0)单调递增，而/(0)=0,所以当x(-1,()时，,(x)0,故F(X)在(-1,0)单调递减,又/(0)=0,从而X=O是/(%)在(-10的唯一零点.(ii)当X(0,、时，由(1)知，/(X)在(0,a)单调递增,在Z,)单调递减,而r(0)=0/();当xe(夕,)时，,(x)O,所以当x(,;时，*)0.从而，/(x)在(Og没有零点.目0,/()v,所以Fa)(iii)当x(,时，/(x)1,所以/(x),所以F(X)在(0,1),(1,+)单调递增.XU-1)因为/(e)=1-0,所以/Cr)在(1,+)有唯一零点笛，即e-1e

3、*-1e-1/(x)=0.又(),O：当x(,时,(x)(一8,0),(,+8)单调递增，在(,单调递减；若=0,F(X)在(-8,+Co)单调递增；若0；当x(g,O时，/)().故/(%)在(一8,1),(0,+8)单调递增，在(,)单调递减.(2)满足题设条件的,b存在.(i)当0时，由(1)知，/(x)在0,1单调递增，所以f(x)在区间0,1的最小值为/(0尸儿最大值为/(1)=2-n+力.此时小人满足题设条件当且仅当人=一1,2-+b=1即=0,b=-.(ii)当位3时，Fh(I)知，f(x)在0,1单调递减，所以/(x)在区间O,1的最大值为f(0)4,最小值为/(1)=2-+力

4、.此时,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即=4,b=.(iii)当0a3时，由(1)知，f(x)在O,1的最小值为/(J=-y+b,最大值为b或2。+力.若+b=-1,b=,则=3,与OVa3矛盾.27若9-+b=-1,2-a+b=1,则=36或。=-3G或=0,与03矛盾.27综上，当且仅当=0,匕=一1或=4,6=1时，/(x)在0,1的最小值为-1,最大值为1.【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算.4 .【2019年高考北京理数】已知函数/(x)=1X3-+.4(I)求曲线y=/()

5、的斜率为1的切线方程；(II)当xe-2,4时，求证：x-6f(x)xi(III)设尸(X)=I/(x)-(x+)(aR),记/)在区间-2,4上的最大值为M().当M()最小时，求白的值.64【答案】(I)y=x与y=x；(II)见解析；(In)a=-3.27【解析】(I)由/(无)=1X3-+得/,()=32-2+1.443 R令ffM=1，即-2x+1=1,得X=O或X=.乂/(0)=0,痔)吟，QQ所以曲线y=/(x)的斜率为1的切线方程是丁=与y一点=不一,.,64即y=x与y=x-王.(II)令g(x)=(x)-x,x-2,4.由g(%)=-f得g,()=-2-2.4 4Q令g(x

6、)=。得X=O或X=g(x),g(x)的情况如下：X-2(-2,0)O(吟83(1,4)4g()+g(%)-6/O_6427/O所以g(x)的最小值为-6,最大值为O.故一6g(x)0,即x-6(X)x.(III)由(II)知，当。3:当。一3时，M(a)F(-2)=|g(-2)-a=6+a3：当。=一3时，Ma)=3.综上，当M(0)最小时，a=-3.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.【2019年高考天津理数】设函数F(X)=ecosx,g(x)为/(x)的导函数.(I)求/(x)的

7、单调区间；(II)当x时,证明fa)+g(x)CT0;(III)设X”为函数(X)=F(X)-I在区间(2兀+：,2+)内的零点，其中N,证明Ce2n27171HXn8sx,得/(x)0,则/(x)单调递减；当x2兀一年,22兀+;)(左Z)时，有sinx0,则/(x)单调递增.所以，/(x)的单调递增区间为2k-i2k+-(AZ),f*)的单调递减区间为/442%td,2k(女Z)._44_(II)证明：记人(X)=F(X)+g()(5-x).依题意及(I),g,(x)=-2esinx.当x时，g%)0,故(x)=ra)+g,a)(一)+g(X)(T)=g(X)一X0.因此，网力在区间上单调

8、递减，进而()呜)=若所以，当XE时，f(x)+(?()-xjO.(In)证明：依题意，(,J=/(Z)-I=O,KPe-vnCOSXrt=I.且f(%)=e%cosyn=exn2ns(xrt-2n)=e-2n(nN).由/(y)=e一21=/(为)及(I)，得”%由(U)知，g()在上为减函数,因此g(%)g(%)0记y=X-2兀,则先当”时，gQ)O,所以：)=0.又由(II)知，42a令E=2，则f2a设g(f)=产-2/J1+x21n:则gQ)=一F1f一贵(i)当R,+时，JIHCra,21-2nx.2yf2r则当()2+x-2nx.TTf(x-2m-2n-2n-2ve,eee21g(y)g(%)-g(%)ev(siny0-cosy0)sinx0-cosX0-2n所以，2兀+XmO.3(1)当。=一士时，求函数F(X)的单调区间；4(2)对任意X-U48)均有Fa)立，求。的取值范围.e2a注：e=2.71828.为自然对数的底数.【答案】力的单调递增区间是(3,中动,单调递减区间是(0,3)；0，.X.3 3-【解析】(1)当。=时，/(x)=1nx+1+x,x0.4 4,31(V1+x2)(21+X+1)4x21+x4x1+X所以，函数