专题20 不等式选讲 （教师版）.docx

《专题20 不等式选讲 （教师版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题20 不等式选讲 （教师版）.docx（8页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、专题20不等式选讲1.【2019年高考全国I卷理数】已知小6,c为正数，且满足HC=1.证明:(1) -+-+-22+c2;abc(2) (+S+c)3+(c+)324.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】(1)因为N+C?2Z?c,/+/N2c,又CIbC=1,故有2.92、，.ab+bc+ca1a+b+cab+be+ca=一abca所以.1+1+1/+从+.abc(2)因为,反c为正数艮。力C=1故有(a+b)3+(Z?+C)+(c+a?3(a+Z?)3(b+c)3(a+c)3=3(a+b)(h+c)(a+c)3(2ab)2bc)(2yac)=24.所以(+Z?)3+(b+cy+(

2、0+op24.【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.2.【2019年高考全国卷理数】已知t(x)=U-x+%-2(x-a).(1)当=1时，求不等式/(x)V。的解集;(2)若x(-8,1)时，f()0,求。的取值范围.【答案】(1)(-,1);(2)1,+oo)【解析】(1)当斫1时，/(x)=x-11x+x-2(x-1).当x1时，/(x)=-2(x-1)20;当x1时,/(x)0.所以，不等式/3Vo的解集为(-,D(2)因为/()=S,所以41.当1,x(-8,1)时，f(x

3、)=(a-X)X+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)+(z+1)2的最小值；(2)若(x-2f+(y-1)2+(z-)2Ng成立，证明：0-3或-1.4【答案】(1)-：(2)见详解.3【解析】(1)由于(x-1)+(y+1)+(z+1)f=(x-1)2(y+1)2+(z1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由己知得(冗I)?+(y+1)2+(zI)2当且仅当=3,=-,Z=-1时等号成立.3334所以(X-1)2+()，+I)?+(Z+I)?的最小值为y.(2)由于(%-2)+(y-1)+(z-)2=

4、(%2)2+(yI)?(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y1)(z)+(za)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2f故由已知(x-2)2+(y-1)2+(z-)21,4a1ci2a2当且仅当=,y=-,z=时等号成立.333因止匕。-2)2+(yIf+(Z-a)2的最小值为出土空.3由题设知号+”)1解得-3或-133【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.4 .【2019年高考江苏卷数学】设xR,解不等式M+2x-12.【答案】1【解析】当x2,解得K-;3当Ogx1时，原不等式可化为+1-22,即x2,解得xh.2综上，原不等式的解集为xx1【

5、名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.5 .【2018年高考全国I卷理数】已知F(X)=U+1-ot-1.(1)当=1时，求不等式/(x)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式/(x)x成立，求。的取值范围.【答案】(1)xxg:(2)(0,2.-2,x-1,【解析】(1)当a=1时，f(x)=x+1-x-1,即/(x)=2x,Tx1的解集为).(2)当x(),1)时x+1-Iat-I1x成立等价于当x(0,1)时Iar-I11成立.若0,则当x(0,1)时IaX-I1D22若。0，IG的解集为OX一,所以一1,故02aa综上，的取值范围为(0,2.6.【201

6、8年高考全国卷理数】设函数Oa)=5T%+Ha2.(1)当时，求不等式/(x)0的解集；(2)若/(x)1,求。的取值范围.【答案】(1)x-2x3);(2)(o,-612,+oo).2x+4,x-1,【解析】(1)当a=1时，/(x)=2,-12.可得/(x)O的解集为x-2x3.(2) /(x)1等价于x+a+x-24.而x+x-24+2,且当冗=2时等号成立.故/(x)1等价于14+24.由4+24可得-6或q2,所以。的取值范围是(-8,-62,”).7.【2018年高考全国In卷理数】设函数/(x)=2x+1+k-1.(1)画出y=(x)的图像；(2)当x0,+8),/(x)r+Z?

7、,求+2的最小值.-3x,X,2【解析】(1)AX)=,x+2,-gx1时，式化为2+-40,从而ICx二-.2所以f(x)g(x)的解集为x-11TM.(2)当x-1,1时，g(x)=2.所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等价于当X-1,1时f(x)2.又/(x)在1,1的最小值必为了(一1)与f(1)之一，所以/(-1)2且/(1)2,得T1所以。的取值范围为【名师点睛】形如x-a+x-c(或c)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法:利用绝对值号内式子对1勺根,将数轴分为(-8,(凡勿，S,+oo)(此处,设40/0,+03=2.证明：(1) (a+b)(a5+Z?5)4;(2

8、) a+b2.【答案】(1)证明略；(2)证明略.【解析】(1)(+6)(a5+b5)a6+ab5+a,b=(/+/)一2。73+(/+/)=4+b(_)4.(2)因为(+嫩=/+3片尿3加+尸=2+34b(+b)C3(。+忆.2+-1(+A)=2+3所以(+h)38,因.此+b2【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法.11 .【2017年高考全国HI卷理数】已知函数/U)=x+1-a2.(1)求不等式/Cr)1

9、的解集；(2)若不等式/(x)-+m的解集非空，求切的取值范围.【答案】(1)Rx1;(2)(一843,X2当x2时,由x)1解得t2所以/(x)1的解集为.x1.(2)由/(x)f-X+加得m+1-21-IX2+,而x1-x-2+Xx+1+x-2-x2+x=-Hx-jv+1-x-2-x2+x=.(5故用的取值范围为-8,I4【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法:利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法“求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现/函数与方程的思想.12.【2017年高考江苏卷数学】已知。力,c,d为实数，且/+=41+/=16,证明：ac+M8.【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得(c+6/)2(a2+b2)(c2+J2),因为/+6=4,c2+J2=16,所以(c+加/P64,因此c+48.【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设，G,，加氏,b2,儿为实数，贝1(。；+嫉+屋)(b；+b；+.+b：)(小加+。2+,力)2,当且仅当比=0或存在一个数匕使G=物(i=1,2,.,n)时，等号成立.本题中，由柯西不等式可得(c+6/)2(/+)(c2+d2),代入即得结论.