第19讲 解几最值求有妙法构造函数多方出击.docx

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1、第19讲解几最值求有妙法，构造函数多方出击典型例题22Jq【例1】已知点4(0,-2),椭圆E+=(ab0)的离心率为丝,F是椭圆a-b2E的右焦点,直线AF的斜率为岁,。为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的直线/与椭圆E相交于P,Q两点，当AoPQ的面积最大时,求/的方程.【例2】已知椭圆的方程为y+=分别为椭圆的左、右焦点,线段PQ是椭圆上过点F2的弦,则PF内切圆面积的最大值为.【例3】如图19一2所示，已知抛物线f=y,点、B-,-1抛物线上的点I24；124J(13、P(X，y)x0)的焦点，过点尸的直线交抛物线于4、3两点，点C在抛物线上，使得A43C的重心G在X轴上，直

2、线AC交工轴于点。，且0在点尸的右侧，记AARS、ACQG的面积分别为5,52.求p的值及抛物线的准线方程；解答过程【例1】已知点A(O,-2),椭圆E:J+=1(b0)的离心率为今F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为手,。为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的直线I与椭圆E相交于P,Q两点，当mPQ的面积最大时,求I的方程.【解析】(1)设F(C,0),由条件知，2=，得C=3.又c3-=-,.a=2,b2=a2-c2=i故E的方程为+y2=1.a24(2)【解法1】当1_1X轴时，不合题意，故设1将y=kx-2代人椭圆方程，整理得(4公+1卜2一%+12=0.贝IJ=(16Z:)2

3、-48(42+1)=16(4Z:2-3)当(),即k2时由弦长公式得IPQ=J1+_SI=J+.2J(X+41_4xW=J+.4；3tKI12_4y4k2-3Ji+A就2+14p3=2,解得又由点到直线的距离公式得点。到直线I的距离d=.0PQ的面积S=-PgJ=-1+A:2-4,32242+1设j4-3rS=*-r+4贝IJ4k2=I2+3且r(),4当t=-f即t=2时，OPQ的面积最大.此时k=+d2.故所求直线/的方程为y=-x-2或y=-x-2.AQ122y=kx-2,x2+4y2-4=0(4Z:2+1)x2-I6x+12=0,x1+x2=-,xx2=WJSPQQ=SADG-SA。=

4、；X2区7J=J(X+-4=4普:3乙一KI1设4p3=r,5=4贝IJ4k2=t2+3且r(),4I当t=-f即t=2时，dOPQ的面积最大.此时42-3=2,解得故所求直线/的方程为y=-x-2或y=-x-2.22【解法2】设直线/:=丘一2交椭圆E于H孙y1）,QCx2f%）。且P在线段AQ上。y=kx-2,X2+4/-4=0(4女2+1)Y-16米+12=0,%x2=16k124/+1M4k2+y=kx-2,X2+4/=4,11116k则X+=/江7,Xx2二QK+1设点P、Q的坐标分别为求一OPQ的面积S可表示为S=一x103由()得k.-.4则Spqq=SA”=3乂2区7|=/（T

5、TF同乙/CI1【解法一】得所求直线1的方程为y=:x-2或y=-x-2.【解法3】设I的方程为y=kx-2,与椭圆方程联立得,消去y整理得(4d+1)12-166+12=0.123-5,且由（）,得k2-.4H+14（不，凹），（，%）,点。的坐标为（，。），用坐标法即S=乐y=张(H-2)f(%-2)=WT2同【解法1】得所求直线I的方程为y=x-2或y=空x-2.【例2】己知椭圆的方程为?+:=1,每分别为椭圆的左、右焦点,线段PQ是椭圆上过点F2的弦,则PF1Q内切圆面积的最大值为.【解析】如图19一1所示,设FQ的内切圆的半径为r,则Sp60=g（P用+依照+P)r=4rSI=-当直

6、线$PQ$的斜率不存在时，易得IPQ1=3,此时S.pF.山周|PQ|=3,.=w；当直线PQ的斜率为k时,直线PQ的方程为y=k(x-).丫22将y=k(x-X)代人亍+、=1,并整理得：(4公+3产一8&+4公-12=0.设7、18公4/_12P(-,y1),(x2,j2),则%+2=/WWR2=1tKIJ4TACIDPQ=+k2(x1-X2)2=71+2.J(xi+x2)2-4xix28/12,4必+3,4A2-124公+312俨+1)4A23.点F1到直线$PQ$的距离d=.11F7则S0=JPQH=胃里手，则设=Bq1),设/=9f+1+6,则/)=9_二，Vtt当时，f,(t)O,

7、.9-+-+6/(1)=16,Vu3综上，当直线尸。垂直于轴时，4P1Q的内切圆半径r取得最大值二,49PF1的内切圆面积的最大值为77乃.16评注:上述解法中若用焦半径公式求IPQ1则可以减少运算，有1QJ212(F+D2PQ=(a-ex1)a-ex2)=2a-e(x1+x2)=4-r-=+=b乙tKIDJK十DD并整理得(3+4)y2+6?)-9=O,设P(1,y),。(乙，%)，则%+必=-孝N，乂=一茄匕，SM雇=1-y2=7(,)2-4y1y2=%：，=12j23m+43标，+T1=n2+1I2：,令/=yn+1.1.3，川+1|/n2+1设/Q)=3f+J,则/，)=3-二，tt则

8、当时，,(00,.n2+11+8),.3zn21+.J(I)=4(当帆=0时等号成立),n2+1.,.Sa%。的最大值为3.Sq1此时z=K迫=1,即r的最大值为2.4449PFQ的内切圆面积的最大值为77乃.16【例3】如图19-2所示，已知抛物线f=y,点抛物线上的点(13、P(X,y)-T-过点3作直线AP的垂线，垂足为。(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求IPAI1PQ1的最大值.图19-2%2_1【解析】(1)【解法1】设直线A尸的斜率为KA=x-x2Z+1由，4I2人得关于X的一元二次方程为V一丘=0.,4y=-由题意可知，上述方程在区间(-g,)内有实数解.=(-A:)2-4

9、1-2Y1)02k+40故直线AP斜率的取值范围是(-1,1).【解法1】联立直线AP与BQ的方程,1,1KX-y+-+=0,93x+kyk=0.42k24-44+3解得点Q的横坐标是XQ=；：).IPA1=J1+1x1=ni),咫二行(X1)=-气于解得一IVZV1B尸A11PQI=一伏一1)(%+IR令/(&)=Tk-1)(1)3v/W=一(软-2)(2+1)2.(Q在区间(一1,g)上单调递增，上单调递减.1 27因此，当女二不时，IPAI1PQ1取得最大值77.2 16【解法2】设A(X,y)、P(X2,%)，设直线AP:)，=Z(X+g)+:,联立抛物线方(xi+x2=k程f2=y得

10、/一日k=0,由韦达定理得(,j3).设直线AP:y=A(x+1)+_1,联立抛物线方程f=y得J一去一_1%一1=O24.,.x1+x2=k,X1.y2=Z2+A+Pyk+紧+旱24；.1Ap=J(X-+(%-丁丫=(Z+i)Ji+1点Q坐标为xj+-j+-且AQ8Q=0,V2)4J_-/+软+3_9/+反+1.Y=2(公+):=4(公+1)，IPQI=J(X3一冗2+(%一)2=(C卜)k+1.PAIPQ1=(Ir)(1+幻2令/（）=（1-J12）（1+k）2=Tk-1）（左+1）3,以下同解法一.【解法4】设尸（疗）一3/!），0（%外），从尸与人。共线，BA,.J+-，+由此，求得点

11、。横坐标为当二-4r2+20+32(4r-4r+5)-进一步求出IPQ1=”4I1PQ=t+-1)-4r2+20r+32(4尸4f+5)=(-16+24r2+16r+3)记g(f)=(_16/+24f2+16r+3),则g,(t)=(1-r)(2r+1)227.当，=1时取得最大值.此时g(f)max=T716【解法5】IPA11PQI=-PAPQ=-PA(P8+8Q),PABQ=O.IPHPQI=-PA-PB=fX+j-%Wx2=（，+；）（I-一;，1）（此函数求最大值的方法有多种）方法1：r(x)=4(x+g)(1-x),.当时，r（x）0,f（x）单调递增;当1x时，r(x)v,(x)单调递减.27.当A1时，/(x)取得最大值，且(矶Im=AI)=77.方法2(X)=x+-2IPAHPQ1的最大值为77x+-2方法3(冗)=X4D2J=XHX+XH216当且仅当V-I=0,X-I=O得x=1(,3取等号.122；PAPQ1的最大值为丁.【解法6】IPQ1是PB在Po上的投影，.PAI1PQ=-PAPQ=-PA-PB设P(=一(四元均值不等式).169当且仅当一+x=-3x,即x=1时取等号,