专题1.2 空间向量的数量积运算【五大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题1.2空间向量的数量积运算【五大题型】【人教A版(2019)【题型1空间向量数量积的计算】2【题型2空间向量的夹角及其应用】4【题型3利用空间向量的数量积求模16【题型4向量垂直的应用】8【题型5投影向量的求解】10，举一反三【知识点1空间向量的夹角与数量积】I.空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量”,b,在空间任取一点O,作5=,h=b,则NAo8叫做向量mb的夹角,记作(a，b).bObB(2)范围：OW。，b).特别地，当(a,b)=?时，ab.2 .空间向量的数量积定义已知两个非零向量,b,则版ICOS。，b)叫做。，力的数量积，记作。力.即b=MIIbICOSa,b.规定：

2、零向量与任何向量的数量积都为0.性质O_1bQab=O()aa=a1=a1运算律(ab=(ab)tR.b=b(交换律).S+c)=Qb+c(分配律).3 .空间向量夹角的计算求两个向量的夹角：利用公式COSG,1)=普W求COSG,1)，进而确定】工.4.空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：(I)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为己知模和夹角的向量的数量积.(3)代入b=IaUb1CoSG,6)求解.【题型1空间向量数量积的计算】【例1】(2023秋高一单元测试)在空间四边形/BCO中，希而+而丽+而品等于()A.-1B.0C.1D.

3、不确定【解题思路】令荏=匕元=M而=乙利用空间向量的数量积运算律求解.【解答过程】令标=a,AC=b,AD=3则四CD+ACDB+ADBCf=d(cb)+b(dc)+c(bd),=dc-db+bd-bc+cb-c-d0.故选：B.【变式1-11(2023春江苏盐城高二校联考期中)如图，各棱长都为2的四面体4BC。中CE=ED,AF=2FD,则向量而序=()【解题思路】由向量的运算可得而=*而+前)，CF=1BA-BC+BD,由向量数量积的定义即可得到答案.【解答过程】由题得瓦彳,正夹角，前,前夹角,瓦b,瓦5夹角均为成-CE=EDtAF=2FDfBE=(BC+BD,AF=ADf.CF=BF-B

4、C=BA+AF-BC9，-O.1一，9，=BA+-AD-BC=BA+-(BD-BA)-BC=-BA-BC+-BD,33vj33.BE-CF=(BC+BDy(BA-BC+|前)=BABC-BC2-BCBD+BABD+-BD2626631I1oI11I1o1=22一x222*t22+2=一622626233故选：A.【变式1-2(2023春陕西西安高一校考期末)在正三棱锥P-ABC中，。是M8C的中心，PA=AB=2,则丽伊2+而)等于()A.竺B.辿C./D.竺9333【解题思路】将方转化为而+万?，而转化为的+而，由三棱锥是正三棱锥可知Po1A。，PO1BO,即可将历可转化为I历2,万而转化为

5、|对|2,结合勾股定理即可求解.【解答过程】；P-ABC为正三棱椎，。为AABC的中心，.P01平面力8C,A0.3。U平面43C,：.P01AO,POIBOtA8C是等边三角形，.PA=0,IAoI=1-=吗POOB=O,出0|=吗故而PA=PO(PO+OA)=P02=PA2-0A2=4-j=2,POPB=PO(PO=P02=IPF2I-0B2=4-=,则对(PA+PB)=POPA+POPB=.1变式1-3（2023秋山东前泽高二统考期末）在棱长为2的正方体48C。-A/iG。中,E尸是正方体ABCD-&B1CID1外接球的直径，点P是正方体4BCD-48GD1表面上的一点，则而而的取值范围

6、是（）A.-2,0B.-1,0C.0,1D.0,2【解题思路】求出正方体4BC0-&BICIDI的外接球。的半径R,可得出方麻=尸。2-3,求出。P的取值范围，进而可求得丽河的取值范围.【解答过程】设正方体ABCO-48G。的外接球的球心为0,设球。的半径为R,则2R=25,可得R=3,所以，OE=OF=GPEPF=(PO+E).(P+OF)=(POOE)(PO-OE)=PO2-OE2=PO2-3,当点。P与正方体48CO-481GD1的侧面或底面垂直时，OP的长取最小值，即OPmiI1=1，当点P与正方体ABCD-AIBICID1的顶点重合时，OP的长取最大值，0Pmax=3,所以，10P5

7、,所以，P-PF=PO2-3-2,0.故选：A.【题型2空间向量的夹角及其应用】【例2】(2023春高二课时练习)若非零向量出石满足Id1=I可，(25-b)=0,则G与B的夹角为()A.30oB.60oC.120oD.150【解题思路】设五与3的夹角为少则由(2五-3)7=0,|五|=同，可得cos。=点从而可求得五与B的夹角【解答过程】设五与B的夹角为仇因为(2,-B)B=0,所以2元B=宜，所以2回IBICoSe=b,因为非零向量出B满足回=问，所以COSe=因为eO,所以e=泉即。=60。，故选:B.【变式2-1（2023江苏高二专题练习）已知空间向量a,B1满足6+3+乙=6,I川=

8、2,同=3,=4,则五与石的夹角为（）A.30oB.45C.60oD.以上都不对【解题思路】设I与B的夹角为/由五+3+1=6,得G+b=-3两边平方化简可得答案【解答过程】设五与B的夹角为仇由d+b+5=0,得五+B=一号两边平方，得潦+2五B+庐=*,因为I五I=2,同=3,依=4,所以4+2X2X3cos6+9=16,解得CoSe=4故选：D.【变式2-2（2023春高二课时练习）空间四边形。48C中，OB=OJAOB=AOC=p赃OS（UZ丽）的值是（）A.IB.C.JD.0【解题思路】利用08=0C,以及方近的数量积的定义化简COS（DX阮）的值，【解答过程】解：VOB=0C,所以瓦

9、5BC=OA（pc-OB）=OAOC-OAOB=I两.I西COSg-I西.0Bcos=I0A（c-1函）=0所以cos（而,前）=0,故选：D.【变式2-3（2023春高二课时练习）已知瓦，瓦是夹角为60。的两个单位向量，则G=西+五与B=存一2瓦的夹角为（）A.60oB.120C.30oD.90【解题思路】先求数量积，再求向量的模，然后根据向量夹角公式即可求得.一2-2-【解答过程】Qb=e+。2）,（。1-2。2）=-e1e2-2ez=1-e1e2-2=5=Q+孩）2=J瓦2+2瓦慈+瓦2=1+1+1=3b=yb2=(e-2eD2=J西-4百.瓦+=-2+4=3所以cos(扇动=赢=g=W

10、所以佰司=120。.故选：B.【题型3利用空间向量的数量积求模】【例3】(2023春福建宁德高二校联考期中)已知单位向量ZS,c,a1bf(afc)=bfc)=60,则a-b+2c=()A.5B.5C.6D.6【解题思路】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为G1A(dfc)=b,c)=6Qo,Ra,反不为单位向量，贝IJId+2c=J(db+2c)2=Jd2+52+4c22db+4dc4b-c=J1+1+4-04x111-411i=6.故选：D.【变式3-1(2023江苏高二专题练习)已知在平行六面体ABCD-A1B1GD1中，向量彳5,AD,标两两的夹角均

11、为60。，且I而I=I,I而I=2,I京I=3,则|温|=()A.5B.6C.4D.8【解题思路】利用向量的数量枳公式即可求解.【解答过程】如图，平行六面体力BCO-A1BIC1D1中，向量而、而、丽两两的夹角均为60。，且I荏I=I,I同I=2,I标I=3, 温=AB+BC+鬲 .温2=(通+而+西)2=AB2+BC2+CC+2ASBC+2ABCC1-2BCCC1=1+4+9+212cos6O0+213cos6O02x2x3xcos6O0=25. I宿I=5,故选：A.【变式3-2（2023秋山东滨州高二统考期末）如图，二面角A-EF-C的大小为45。，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的

12、正方形，则8、。两点间的距离是（）A.2B.3C.3-2D.3+2【解题思路】利用二面角的定义可得出乙4E。=45。，由空间向量的线性运算可得出丽=瓦5-丽+而,利用空间向量数量税的运算性质可求得I而即为所求.【解答过程】因为四边形4BFE、COEF都是边长为1的正方形，则4E_1/，DE1EFf又因为二面角A-C的大小为45。，即44ED=45。，则（瓦,前）=45。，因为而=屁+而+南=瓦5而+而，由图易知荏1丽，AB1ED,所以，I而I=J廊而+而P=eX2+ED2-AB2-2EAED+2EAAB-2EDAB=1+1+1-211cos450+0-0=3-2.故选：C.【变式3-3（202

13、3春江苏南京高二校考阶段练习）如图，三棱锥。-ABC各棱的棱长是1,点。是棱43的中点，点E在棱OC上，且丽=4能，则DE的最小值为（）3D.I2【解题思路】首先在AOOC中利用余弦定理求出COS/D0E,然后由空间向量的运算法则可得I屁I=OE-OD变形可得忸研2=-4+5由二次函数的知识可得答案.【解答过程】根据题意，在A。C中，OD=CD=今OC=1,所以COS4。E=21y3所以I函2=|0-0D|2=oe2-20EOD+OD2=2-2yy+=（-）2+1则入=时，屏/取得最小值5则I网的最小值为当故选：B.【题型4向量垂直的应用】【例4】（2023春甘肃武威高二统考期中）在空间，已知引西为单位向量，且可1与，若益=2可+3丽己=呵一4瓦,a1b,则实数A的值为（）A.6B.6C.3D.-3【解题思路】由d和3的数量积为0,解出Z的值.【解答过程】由题意可得五%=o,百五=o,同=层=,所以（2百+3五）（k可一4日）=0,即以-12=0,得2=6.故选：B.【变式4-1（2023全国高二专题练习）已知长方体ABCD-48G5,下列向量的数量积一定不为0的是（）A.ADiBCB.BDACC.ABADD.BDBC【解题思路】当四边形AODA/为止方形时，可证A。，以。可判断A；当四边形ABC。为正方形时，可证Ac1Be可判