专题17 圆过定点模型 (解析版).docx

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1、专题17圆过定点模型【方法总结】1 .圆过定点问题的一般设问方式(1)证明以PQ为直径的圆恒过X或)，轴上某定点0)或M(0,)；(2)证明以PQ为直径的圆恒过定点”(?，)；(3)证明以PQ为直径的圆恒过定点M(m,)；(4)以PQ为直径的圆是否恒过定点M?若是，求出该定点M的坐标；若不是，请说明理由.2 .圆过定点问题的一般解法(1)向量法：基本思想是根据直径所对的圆周角是直角，即奥破=0.这是解决圆过定点的主要方法.一般步骤：设出MQm)及相关点的坐标或相关直线的方程；根据题设条件求出点尸与点。的坐标，P(A，B(t)fQ(C(t),。)；求出称与政的坐标，并根据称破=0,建立方程式用，

2、。=0,并整理成那如)+g(加，)=0；根据圆过定点时与参数没有关系(即方程对参数t的任意值都成立)，得到方程组p(w,)=0,1g(m,w)=0；以方程组的解为坐标的点就是圆所过的定点.(2)方程法：基本思想是根据已知条件求出圆的方程，即於，y,k)=0.这种方法用的很少.一般步骤：设出相关点的坐标或相关直线的方程；根据题设条件求出点尸与点。的坐标，P(A(t)f(),(C(),D(t)i求出圆的方程(,yfr)=0,并整理成孔v,y)+g(,y)=0;根据圆过定点时与参数没有关系(即方程对参数/的任意值都成立)，得到方程组产y)=o,Ig(X，y)=o；以方程组的解为坐标的点就是圆所过的定

3、点.(3)赋值法：基本思想是从特殊到一般，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【例题选讲】例1(2019北京)已知抛物线Cf=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为。的直线/交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点艮求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.规范解答I(D由抛物线C:f=-2py经过点(2,-1),得p=2所以抛物线C的方程为f=-4y,其准线方程为y=1(2)向量法抛物线C的焦点为尸(0,-1),设直线/的方程为y=依一1(原0).y=k-t由19得/+4

4、心:-4=0.U2=-4y设M(XI,y),NgJ2),则Xbr2=-4.直线OM的方程为尸卜令尸7,得点A的横坐标Q号.同理得点B的横坐标切=一.设点o,)，则速=(一/,Tf),彷=(一,-If),成份=器+(+=4(+1)2=4+(+1)2.令办访=0,即一4+(+1)2=0,则=1或=一3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).V23I例2己知椭圆”+=1()过点Q(I，2),且离心率e=(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C长轴两端点分别为A,B,点P为椭圆上异于A,5的动点，直线/：x=4与直线孙，P8分别交于M,N两点，又点、E(7,0),过E,M,N三点的

5、圆是否过X轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由.2,规范解答I(1)由3+/=,解得/=4,从=3,故椭圆C的方程为：+=2=2+c2(2)向量法设点Pa0,泗)，直线雨，PB的斜率分别为白，22,由椭圆的第三定义知如=e2-1=34,又Rby=(x+2),令x=4,得M(4,6幼，同理：PB:y=k2(x-2)t令x=4,得M%2k2)t则AE以av=(一野)(一竽)=-I,过七，M,N三点的圆的直径为MM设圆过定点/?(也，0),则就前=0,因为扁=(4一m,6舟)，前=(4-n,2k2).所以前前=(4一加y+12A次2=0,即(4-m)2=9,解得m=1或?

6、=7(舍).故经过E,M,N三点的圆是以MN为直径，过X轴上不同于点E的定点R(1,0).例3已知A(-2,0),B(2,0),点C是动点且直线AC和直线BC的斜率之积为一点(1)求动点C的轨迹方程；(2)设直线/与(1)中轨迹相切于点P,与直线x=4相交于点Q,判断以P。为直径的圆是否过X轴上一定点.I规范解答I设C(X,).由题意得8c=12=-1y0)整理，得+，=10O)故动点C的轨迹方程为+=1(yO).(2)方法一：向量法易知直线/的斜率存在,y=Ax+m,设直线/：y=k-m,联立方程组消去y并整理，得(3+4A2*+8h+42-12=0.彳+1=1，依题意得/=(8ATn)24

7、(3+42)(4t2-12)=0,即3+4A?=产.设x,X2为方程(3+42)2+8hnx+4m2-12=0的两个根，则M+念=灯H，所以x-4kmM=3+40所以聋舟)，即K券3-又。(4,必+加)，设R(f,0)为以P。为直径的圆上一点，贝岫病殖=0,得(一当一K)(4-G4+m)=0,整理，得务1)+产4/+3=0.由A的任意性，得11=0且产4r+3=0,解得f=1.综上可知以PQ为直径的圆过X轴上一定点(1,0).方法二：向量法设P(M),和)，则曲线。在点P处的切线PQ等+苧=1,令x=4,得4,三沔.设RG0)为以尸Q为直径的圆上一点，则由邪血=0,得(沏一/)-(4/)+33

8、xo=O,即XO(If)bt24/+3=0.由沏的任意性，得1f=0且户-4f+3=0,解得f=1.综上可知，以PQ为直径的圆过X轴上一定点(1,0).例4已知尸F2为椭圆C：f+r=1的左、右焦点，过椭圆长轴上一点M(m,0)(不含端点)作一条直线/,交椭圆于A,B两点.(1)若直线AF2,AB,8尸2的斜率依次成等差数列(公差不为0)，求实数次的取值范围；(2)若过点的，一的直线交椭圆C于EF两点，则以EF为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.规范解答1(1)由题意知尸|(一1,0),尸2(1,0),直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y=4(1m)(A

9、0),A(X1,y)tB(X2J2),Ety1V2rr(-m)kx2n)则y=%(x-m),y=k(x2-fn)t因为:_1+=2k,即一._.+二TJ-=2生AT12IVIy=k(-m)t整理得(x+x21-加)=2(1-m),又公差不为0,所以xi+m=2,得(1+2k1)x14k1nx2k1m22=0,由X+m=盘=2,得心而匕产所以心1又点M(m,0)在椭圆长轴上(不含端点)，所以IVmV啦，即实数m的取值范围为(1,2).(2)赋值法假设以E尸为直径的圆恒过定点.当EZJ1x轴时，以注为直径的圆的方程为2+j2=1;当E尸轴时，以Er为直径的圆的方程为r+Q+0=竽，则两圆的交点为Q

10、(0,1).下证当直线E尸的斜率存在且不为0时，点。(0,1)在以E尸为直径的圆上.设直线E尸的方程为y=te-(oO),代入，+y2=,整理得QH+301号=0,设E(X3,券)，F(X4,2)，则X3X4-453(2+1)*16x4=9(2j+1)又Ok=(X3,”-1),亦=3,J4-1),所以殡耕=KM4+031)&4-I)=X汨-169(2+1)O4-3所以点Q(0,1)在以EF为直径的圆上.综上，以E/为直径的圆恒过定点(0,1).例5等边三角形OAB的边长为81且其三个顶点均在抛物线Ex2=2如0)上.(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线/与抛物线E相切于点P,与直线)，=-1

11、相交于点。.证明：以PQ为直径的圆恒过某定点.规范解答I依题意，OB=83,ZBO)=30o,不妨设Ba,y),x0,则x=OBsin30o=43,y=OBcos300=12,因为点8(4切，12)在f=2py上，所以(4巾)?=24p,解得p=2,所以抛物线的方程为f=4y.解法1：向量法由(1)知y=%2,所以y=%.设点P(w,yo),Q(X,1),则1112-4/的方程为yyo=/O(X沏)，即下/.令y=1,可得X1=如2.设M(m,)是圆上一点，则称A7b=0,即(切一Xo)(?一-)+(一加)(+1)=0,整理可得nr-2n2+/?-和一和=0,因为yo=%o)QaI,-1),则

12、沏0,I14/的方程为y泗=Fo(X沏)，即丁=亍一不自令),=1,可得汨=,2网.由词3j=0,可得即)+(-yo)5+1)=0,整理可得考-2+/+一泗一贝)=0,因为泗=%1小,所以(1-)泗+(+一2)=0,该式子要对任意的满足yo=%(M)0)的和恒成立,所以1n=0,2-2=0由此解得=1,所以以P。为直径的圆恒过定点(0,1).解法3：赋值法由对称性可知该定点必在y轴上.由知Y=*,所以y=g.设点P(X0,Iyo),Q(XI,1),贝UXo0,且/的方程为y和=%o(x&),ErI1ICAmJtO2-4即产)2.令丁=一,可得尤I=2A.(/取沏=2,此时P(2,1),。(0,

13、-1),以PQ为直径的圆为Hr-2)+。-1)(y+1)=O,与y轴交于点M(0,1)和“2(0,-1);13取M=1,此时P(1,W),(-21)以P。为直径的圆为(1I)(X+多+。-%+1)=0,与y轴交于点此(0,D和(0,-%由此可知，该定点为M(0,1),下证M(0,1)就是所求的点.因为MA=(XO,M)-1),破=(A-2),所以讲A7=1*-2yo+2,所以以产。为直径的圆恒过定点(0,1).例6设F,B分别为椭圆C：5+方=13QO)的左、右焦点，若椭圆上的点42,也)到点F1,F2的距离之和等于42.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=H(后0)与椭圆。交于石，尸两点，4为椭圆C的左顶点，直线AE,AF分别与y轴交于点M，M问：以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标;若不经过，请说明理由.规范解答I(1)由椭圆上的点2,6)到点Q,尸2的距离之和是46，可得2=45,4=2又7(2,包在椭圆上，因此/=1,所以6=2,所以椭圆C的方程为1+9=1.方程法因为椭圆C的左顶点为A,所以点A的坐标为(一25,0).v212因为直线y=心：(后0)与桶圆$+；=1交于E,尸两点，设点E(Xo,和)(不妨设Xo0),P=依，则点尸(一沏，一把).由+2_消去y,得f=+2,所以网=推