专题3.4 双曲线的标准方程和性质【九大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）.docx

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1、专题3.4双曲线的标准方程和性质【九大题型】【人教A版（2019）【题型1曲线方程与双曲线】1【题型2利用双曲线的定义解题】2【题型3双曲线的标准方程的求解】3【题型4求双曲线的轨迹方程】3【题型5利用双曲线的几何性质求标准方程】5【题型6双曲线的渐近线方程】6【题型7求双曲线的离心率的值或取值范围】6【题型8双曲线中的最值问题】7【题型9双曲线的实际应用问题】7【知识点1双曲线的标准方程】1 .双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点片,E的距离的差的绝对值等于非零常数（小于IEBI）的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.2 .双曲线的标准方程双

2、曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：双曲线在坐标系中的位置1OIv标准方程-7TT=1(。0,bQZb2庐=I(Q0,b0)焦点坐标(一。,0),K(c,0)F1(0,-c),E(0,c)a,b,c的关系c2=22【题型1曲线方程与双曲线】【例】（2023高二课时练习）当QbVO时，方程-y2=b所表示的曲线是（）A.焦点在X轴的椭圆B.焦点在X轴的双曲线C.焦点在y轴的椭圆D.焦点在y轴的双曲线【变式1-1（2023全国高二专题练习）“771九0是“加/+政2=1为双曲线”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【变式1-2（2023秋浙江湖州

3、高二统考期末）已知曲线C的方程为式+二=1（mR）,则（）m2m+5A.曲线C可以表示圆B.曲线C可以表示焦点在工轴上的椭圆C.曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D.曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线【变式13】（2023高二课时练习）已知三一尼=一1，当A为何值时：1-kIk1-3（1）方程表示双曲线；（2）表示焦点在3轴上的双曲线；（3）表示焦点在y轴上的双曲线.【题型2利用双曲线的定义解题】【例2】（2023秋江苏常州高二校考期末）双曲线C:2-2=1上的点P到左焦点的距离为12,则P到右焦点的距离为（）A.22B.2C.2或22D.24【变式2-1（2023秋辽宁锦州高三统考期末）双曲线

4、C：盘一3二1的左右焦点分别为尸1，F2,一条渐近线方程为1t+y=0,若点M在双曲线C上，且IMF|=5,则MF2=（）A.7B.9C.1或9D.3或7【变式22】（2023春四川资阳高二统考期末）已知双曲线C:/-=I（Tn0）的左、右焦点分别为F1，F2,直线/经过&且与C的右支相交于A,8两点，若A8=2,则BF1的周长为（）A.6B.8C.10D.12【变式2-3（2023秋吉林辽源高二校联考期末）设尸2是双曲线9一?=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PFI1=5PF2,则APF2的面积等于（）A.24B.152C.I25D.30【题型3双曲线的标准方程的求解】【例3】（202

5、3秋天津河西高二统考期末）设中心在原点，焦点在X轴上的双曲线的焦距为16,且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6,双曲线的方程为（）2v22v2A.上一匕=1B.土一匕二1955972V2X2V2C.-=1D.-i-=11006479【变式3-1（2023全国高二专题练习）与椭圆，:（+弓=1共焦点且过点（1,8）的双曲线的标准方程为（）A.X2-=1B.y2-2x2=13jC.%9=1D.-x2=1223【变式3-2（2023全国高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为F1（0,5）,F2（0,-5）,P是双曲线上一点且满足IIPF11-PF2=6,则双曲线的标准方程为（）

6、A.日亡=1B.立-亡=1c.二-二=1D.廿-左=1169916169916【变式3-3（2023全国高三专题练习）己知见尸2是双曲线EA-A=I（。0,匕0）的左，右焦点，点P在E上，。是线段FiF2上点，若ZF1PF2=三,ED:尸2。=12PD=4,则当APFiF2面积最大时，双曲线E的方程是（）A.至上=1129B.-=1912C.【题型4求双曲线的轨迹方程】【例4】（2023四川高三统考对口高考）已知），轴上两点FI（O,-5）,6（0,5），则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（）A.立上=1916B.169D.c7=1【变式4-1（2023全国高二专题练习）已

7、知平面内两定点a（-3,0）,F2（3,0）,下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是（）A.PF1-P2=7B.PF1-IPF2I=6C.PF1-PF2=4D.PF12-PF22=6【变式4-2】（2023高二课时练习）动圆M与圆G：0+5）2+、2=25和圆。2：（%-5尸+y2=均外切,则动圆圆心M的轨迹方程为（）A._g=I（X2）B.二-二=Ia-2）421k7421kjCW=I（XN3）DW=Ia-3）【变式4-3（2023秋安徽安庆高二校考期末）己知定点0（一2,0）,尸2（2,0）,可是圆0:/+必=上任意一点，点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线FzM相交于点P

8、,则点P的轨迹方程是（）A.x2=1B.x2-=1C.+y2=1D.-y2=1333,3,【知识点2双曲线的简单几何性质】1 .双曲线的简单几何性质双曲线的一些几何性质：图形W，标准方程2T5=I(Q0,b0,Q02=1(q0,b0)范围xa或xa或y-aR对称性关于X轴、y轴对称，关于原点中心对称顶点Ai(UO)A3,0)A(0,-a)42(0,a)半轴长实半轴长为外虚半轴长为b离心率e=(e1)a渐近线方程,by=aXy=x2.双曲线的离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比,叫作双曲线的离心率.（2）双曲线离心率的范围：e.（3）离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决

9、定了双曲线的开口大小.因为，=T，所以e越大，5越大，则双曲线的开口越大.（4）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率3 .双曲线中的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：（1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.（2）代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个（或多个）变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量

10、的取值范围对最值的影响.【题型5利用双曲线的几何性质求标准方程】【例5】（2023河南校联考模拟预测）若双曲线C：T=1（0,b0）其中一条渐近线的斜率为2,且点（5,2）在C上，则C的标准方程为（）A.式-g=B.立-e=1C.x2-=1D.%-y2=288223z【变式5-1（2023四川成都三模）已知双曲线C经过点（4,2）,且与双曲线?-必=1具有相同的渐近线,则双曲线C的标准方程为（）2v22v22v22y2A.一匕=1B.-=1C.-=1D.j-J=18463421212【变式5-2（2023春广东佛山高二校考阶段练习）一双曲线的虚轴长为4,离心率与椭圆B+=1的离43心率互为倒数

11、，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（）B.-S=1D.一片=1【变式5-3（2023全国高三专题练习）已知双曲线:会，=1（0,60）的离心率为今以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,。四点，若四边形48CD的面积为12,则双曲线的方程为（）Ax2y1A.-=199D.361822y2c行一行一1【题型6双曲线的渐近线方程】【例6】（2023山西校联考模拟预测）已知双曲线捺一?=1（。0）经过点（2,3）,则其渐近线方程是（）A.y=V3xB.y=xC.y=x【变式61】（2023河南开封统考三模）已知双曲线/一见产=1（血0）的左、右焦点分别为

12、F（-2,0）,F2（2,0）,则双曲线的渐近线方程式为（）A.y=苧XB.y=F%C.y=2xD.y=3x【变式62】（2023春安徽安庆高二校考阶段练习）已知点P为双曲线CW-I=I（0,b0）位于第一象限内的一点，过点P向双曲线。的一条渐近线/作垂线，垂足为A,F1为双曲线。的左焦点，若PA=2福，则渐近线/的斜率为（）A.-3B.-22C.-5D.-2【变式6-3（2023春四川成都高二校联考期末）已知双曲线C:W=I（20/0）的左，右焦点分别为当,尸2,右支上一点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为心42,若IFIF2产=16d（,则双曲线C的渐近线方程为（）A.y=2xB.y=V

13、3xC.y=2xD.y=x【题型7求双曲线的离心率的值或取值范围】【例7】（2023上海浦东新华师大二附中校考三模）已知双曲线。:3瓶/一瓶、2=3的一个焦点坐标为（-2,0）,则双曲线C的离心率为（）A.-B.C.2D.423【变式7-1（2023春四川凉山高二统考期末）已知双曲线。吟一、=1（。0/0）的一条渐近线方程为x+y=O,则双曲线C的离心率为（）A.2B.2C.3D.5【变式7-2（2023山东济宁嘉祥县第一中学统考三模）己知产为双曲线。一3=1（。0,b0）的右焦点，过F且垂直于轴的直线与双曲线C的右支交于小B两点,若在双曲线C左支上存在点P使得P41P8,则该双曲线的离心率的取值范围是（）A.（1,3B.3,+）C.（1,2D.2,+）【变式73】（2023.安徽合肥校考模拟预测）双曲线会A=I（Q2,b0）的焦距为2c（c0）,己知点4（q,0）,8（0,b）,点（2,0）到直线48的距离为由，点（一2,0）到直线48的距离为c,且d+Bgc,则双曲线离心率的取值范围为（）A.,2B.停,词C.,iD.3,23【题型8双曲线中的最值问题】【例8】（2023全国高三专题练习）已知双曲线1的左焦点为F,点P是双曲线C右支上的一点,44点M是圆22+6，-2a）2=1上的一点，则IP尸+PM1的最小值为（）A.5B.5+22C.7D.8【变式