专题3.7 直线与抛物线的位置关系【八大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

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1、专题3.7直线与抛物线的位置关系【八大题型】【人教A版(2019)【题型1判断直线与抛物线的位置关系】1【题型2根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】3【题型3抛物线的弦长问题】5【题型4抛物线的焦点弦问题】7【题型5抛物线中的切线问题】9【题型6抛物线中的面积问题】13【题型7抛物线中的定点、定值、定直线问题】18【题型8抛物线中的最值问题】24【知识点1直线与抛物线的位置关系】1.直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系：相交相切相离(2)设直线/:产入+小抛物线:/=2PXSX),将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于X的方程k2x2+(2km2p)x+n2=O.若上0,

2、当()时，直线与抛物线相交，有两个交点；当=()时，直线与抛物线相切，有一个交点；当()时，直线与抛物线相离，无交点.若七0,直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.【题型1判断直线与抛物线的位置关系】【例1】(2023全国高三专题练习)直线y=k(%-1)+2与抛物线产=4y的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不能确定【解题思路】直线y=AQ-1)+2过定点(1,2),在抛物线炉=4y内部，即可得出结论.【解答过程】直线、=底%-1)+2过定点(1,2),V120,所以直线/与抛物线Q相交，

3、故选：A.【题型2根据直线与抛物线的位置关系求参数或范围】【例2】（2023高二课时练习）若直线y=依+2与抛物线/=4只有一个公共点，则实数人的值为（）A.IB.0C.：或0D.8或0【解题思路】由直线方程与抛物线方程联立，方程组只有一解，注意上0的情形.【解答过程】解：由得分2-y+2=0,若4=0,直线与抛物线只有一个交点，则y=2；若厚0,则/=1一弘=0,所以女=：.8综上可知k=Q或，故选：C.【变式21】（2023高二课时练习）直线y=H+b与抛物线川=有且只有一个公共点，则匕b满足的条件是（）A.kb=1B.k=0,bRC. b0,k=0D. kb=1或k=0【解题思路】当k=

4、O时，直线y=b符合题意；当AHO时，联立直线与抛物线方程消去y,得关于的一元二次方程，由4=0即可得Kb的关系，进而可得正确答案.【解答过程】当A=O时，直线y=b与抛物线V=钛有且只有一个公共点，符合题意；当k工0时，由，可得：k%2+(2kb-4)工+炉=0,若直线y=kx+b与抛物线必=物有且只有一个公共点，则/=(2/-4)2-4162=0,整理可得：16-16kb=0,所以kb=1,综上所述：kb=1或k=0,故选：D.【变式22】(2023秋高二课时练习)已知抛物线C的方程为/=；y,过点4(0,-1)和点8(,3)的直线/与抛物线C没有公共点，则实数f的取值范围是()A.(-,

5、-2)u(2,+)B.(22,+)C.(-,-22)D.(-2,2)【解题思路】首先求宜线/的方程，与抛物线方程联立，利用A0,即可求解t的取值范围.【解答过程】当t=0时，直线2:=0,与抛物线有交点，所以t0,设直线AB的方程为y=：%1,联立直线与抛物线方程，得VJ1,消元整理，得2/一：+1=0,X=2y由于直线与抛物线无公共点，即方程2-g+1=0无解，故有(_52一85或tv-故选：A.【变式2-3(2023山东统考二模)已知抛物线C:y2=4%，若过点P(-2,0)作直线2与抛物线。交A,8两个不同点，且直线，的斜率为鼠则A的取值范围是()A(f)u(,)B卜瞿C.(-,)D.(

6、-,0)u(0,)【解题思路】假设直线/的方程为y=k(x+2),然后分k=0和k工0两种情况进行讨论，即可得到答案【解答过程】易得直线Z的斜率存在，故设直线，的方程为y=Hx+2),当k=0时，直线I与抛物线只有一个交点，不适合题意；当k0时，将直线I代入抛物线C:y2=4%得到A?/+4(c2-I)X+4Zc2=0,因为直线1与抛物线C有两个交点，所以A=16（c2-1）2-4k24k20Pfc21解得一号VkV当此时k0)AB=x+x2+py2=-2px(p0)AB=p-(x+x2)2=2py(p0)B=y+y2+p2=-2py(p0)AB=p-(y+y2)【题型3抛物线的弦长问题】【例

7、3】（2023河南安阳统考三模）己知抛物线必=4%的焦点为F,准线为1,过点尸的直线交抛物线于A、8两点，且点4到，的距离为4,则IAB1=（）A.4B.5C.D.33【解题思路】分析可知，直线AB不与X轴重合，设直线AB的方程为X=Tny+1,设点A（X1,月）、B（x2yz）将直线48的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件求出力的值，可求得2的值，进而可求得与、必的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可求得|4网的值.【解答过程】抛物线必=轨的焦点为F（1,0）,准线为1X=-1,设点4,九）、B（x2,y2）,若直线48与不轴重合，则直线AB与抛物线必=4%只有一个交点，不合乎题

8、意，设直线48的方程为=my+1,联立丫?!：可得于一4my-4=0,=16m2160,由韦达定理可得y1+y2=4m,y1y2-4,所以，x1x2=-2=116点4到直线1的距离为与+1=4,则与=3,所以，X2=-=xI3因此，AB=1+2+2=3+2=y,故选：C.【变式3-1(2023秋陕西西安高二校考期末)设经过点F(1,0)的直线与抛物线/=4%相交于4,8两点,若线段AB中点的横坐标为3,则48=()A.6B.8C.10D.12【解题思路】利用抛物线焦点弦长公式直接求解即可.【解答过程】由抛物线方程知：F(1O)为抛物线/=4%的焦点；设4(必,力),8(%及)，线段48中点的横

9、坐标为3,二x1+X2=6,直线T1B过抛物线的焦点F(1,0),二48=x1+x22=8.故选：B.【变式3-2(2023秋贵州铜仁高二统考期末)过抛物线y2=2px(p0)的焦点尸作直线，交抛物线于A(XO,%)，8(5-%,乃)两点，若4B=8,则P=()A.1B.2C.3D.4【解题思路】如图所示，由题得尸g,0),利用抛物线的定义化简48=4可+8F=8即得解.【解答过程】如图所示，由题得Fg,0)，抛物线的准线方程为X=-*所以48=AF+BF=XO+q+5-%+=8,p=3.故选：C.【变式3-3（2023辽宁朝阳朝阳市校考模拟预测）过抛物线C：V=2px焦点F的直线与C交于4,

10、B两点,过点8向抛物线C的准线作垂线，垂足为。（一1,一1）,则MB1=（）A.B.C.18D.2044【解题思路】依题意抛物线的准线为T=-1,即可求出P，从而求出抛物线方程，再由yB=-1,求出加，从而求出直线AB的方程，联立直线与抛物线方程，求出巧1,再根据焦半径公式计算可得.【解答过程】依题意抛物线的准线为X=-1,即一=一1,解得p=2,所以抛物线方程为y2=4%,则焦点为尸（1,0）,又为二一1，所以（一I）?=4物，解得小=：，4所以8-1）,所以kBF=i=-%所以直线AB的方程为y=-g-i）,4yz=4x1丫_3（乃_）,消去y整理得4/-17%+4=0,解得/=工、2=4,即M=4,所以48=%a+%b+P=:+4+2=*故选：B.【题型4抛物线的焦点弦问题】【例4】（2023全国高三专题练习）已知过抛物线Uy=的焦点/，且倾斜角为J的直线I交抛物线C于A,838两点，则4B1=（）A.32B.-C.-D.833【解题思